金融数学课件.pptx

金融数学;第一章第一节线性代数基础;其他两个内积的定义;矩阵和行列式的微分;第一章第二节数学模型和模型的建立;建立模型的步骤;建模举例;对问题的分析;用数学符号和公式表示模型;交易费用的数学表达式和图形;几个优化模型;假定相对偏好1ρ0，

上面模型不容易求解。

简化费用的表达式可以将模型简化问题，

假设费用：ci(xi)＝pixi

资金约束条件变成：F（x）＝Σ(1+pi)xi＝M

前面的三个模型都可以变成线性规划问题，对此已经有成熟的方法解决。

线性规划linearprogram;第一章第三节极值和条件极值的求解;计算条件极值的拉格朗日乘子法;求解收益相同风险最小的投资组合;第一章第四节凹函数、凸函数和效用函数;两个效用的例子;偏好关系preferencerelation;确定状态下的效用函数

具有偏好关系的效用函数u(.)

u(x)≥u(y)当且仅当x≥y

满足：保序、中值、有界性

序数效用函数存在性定理，;不确定状态下的效用函数;风险态度——效用函数应用;用效用函数u(x)分析3种态度;风险态度的图形表示;效用函数例子;风险、风险厌恶与随机占优

资产定价理论的微观经济基础;第二章第一节风险与风险偏好;风险厌恶、风险中性与风险偏好的数学表述;风险厌恶的数学定义;绝对风险厌恶与风险溢价;相对风险厌恶与风险溢价;风险溢价和风险厌恶对投资人决策影响的实例说明;随W的变化，风险厌恶投资者的a的动态变化

假设绝对风险厌恶系数不随W增加而增加

对r＞0和r＜0，都可得到

（2.20a）

从（2.17）得（2.21）

u是凹函数，得（2.21a）;最后

风险厌恶的投资人投资于风险资产的财富随着总财富的上升而增加

关于绝对风险厌恶系数不随W增加而增加

经过推导可知，要求三阶导数为正数

度量风险厌恶在于比较不同投资人对同一风险决策的态度。

在资产定价理论中，一般假定存在一个典型性投资人。需要处理典型投资人对不同资产的风险与收益的判断，即资产风险的度量问题。;第一章第二节随机占优;E(X)=E(Y)=2，Var(X)=4，Var(Y)=7

如果选择风险厌恶效用函数;均值—方差效用不完整性说明;资产风险度量的一般方法;一阶随机占优FSD;FSd的图形表示;二阶随机占优SSD;SSD??形表示;SSD其他特性;均值不变下的分布展形MPS;Jensen’sinequality证明;

均值方差证券投资组合选择模型;第一节风险和收益的数学度量;证券之间关联性——相关系数;三种相关程度：

1、完全线性相关：完全决定另一个

ρAB＝1或ρAB＝-1

rA＝a＋b×rB,σ2A＝b2×σ2B

2、不完全线性相关：“部分”决定另一个

rA＝a＋b×rB＋ε

σ2A＝b2×σ2B＋σ2（ε）

3、不相关：一证券的变化对另一证券的变化“没有贡献”

ρAB＝0或cov（rA，rB）＝0;组合的期望和方差计算方法;

两证券组合的期望收益率与方差计算方法

必须知道相关系数或协方差

E（rP）＝WA×E（rA）＋WB×E（rB）

σ2P＝W2A×σ2A＋W2B×σ2B

＋2×WA×WB×ρAB×σA×σB

选择不同的组合权数，得到不同的组合，从而得到不同的期望收益率和方差。

WA和WB有无限种取法，投资者有无限多种证券组合可供选择。

每个投资者根据自己对收益和方差（风险）的偏好，选择符合自己要求的证券组合;两种证券的结合线;第二节马克维茨模型的运作过程;投资组合几何表示和可行域;可行域必须满足的形状;有效边界和有效组合;对风险补偿的偏好和无差异曲线;根据无差异曲线可以比较任意两个组合的好坏

无差异曲线位置越靠左上，满意程度越高

C＞A＝B＞D;切点是最佳证券组合点;第三节组合有效前沿的数学推导;前沿组合的数学表述和求解;证券组合前沿;证券组合前沿的性质;证券组合有效前沿的几何结构;双曲线图形;在收益率的方差——均值空间中，

机会集是顶点为（C-1/2，A/C）的抛物线

图形;最小方差证券组合mvp;有效证券组合（或有效边界）efficientportfolios;第四节零协方差前沿证券组合;zc(p)的几何含义;非前沿组合的零协方差组合;用拉格朗日求解zc(q)

Q＝zc(q)是q与mvp的再组合，Wq是负数。

期望收益率为;zc(q)的几何含义;p;Zc(p);q零协方差组合生成的前沿曲线Fq;第五节用前沿组合对任意组合定价;定价公式推导的图形说明;另一种推导方法利用I和p的协方差的表达式，将p的具体投资比例代入可得

定理3.3：任意一个证券组合q的收益率期望值都可以表示成任意一个前沿证券组合p（除mvp外）与其对应的前沿证券组合zc