人教A版高中同步学考数学选修1精品课件 第三章 习题课——导数的综合应用.ppt

习题课——导数的综合应用

课标阐释思维脉络1.掌握利用导数研究方程的根或函数零点的一般方法;2.掌握利用导数解决不等式恒成立问题的基本方法;3.掌握利用导数研究函数综合问题的方法.

1.利用导数研究方程的根或函数零点(1)方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点,亦即f(x)图象与x轴交点的横坐标;(2)方程f(x)=a的根就是函数g(x)=f(x)-a的零点,亦即f(x)图象与直线y=a交点的横坐标;(3)方程f(x)=g(x)的根就是函数h(x)=f(x)-g(x)的零点,亦即f(x)图象与g(x)图象交点的横坐标.【思考】(1)对于函数y=f(x),x∈[a,b],若f(x)≥c,或f(x)≤c恒成立,则c满足的条件是什么?(2)对于函数y=f(x),x∈[a,b],若存在x0∈[a,b],使得f(x)≥c,或f(x)≤c成立,则c满足的条件是什么?提示:(1)c≤f(x)min或c≥f(x)max.(2)c≤f(x)max或c≥f(x)min.

2.利用导数解决不等式恒成立问题(1)不等式λ≥f(x)恒成立,则λ≥[f(x)]max;(2)不等式λ≤f(x)恒成立,则λ≤[f(x)]min.【做一做1】方程x3-3x2-2=0实根的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3解析:令f(x)=x3-3x2-2,则f(x)=3x2-6x=3x(x-2),所以f(x)有极大值f(0)=-2,极小值f(2)=-6,结合函数图象可知其与x轴有一个交点,因此方程只有一个实数根.答案:B

【做一做2】已知函数f(x)=x3-x2-2x+5,若当x∈[-1,2]时,f(x)m恒成立,则实数m的取值范围为()A.[7,+∞) B.(7,+∞) C.(-∞,7) D.(-∞,7]解析:利用导数可求得当x∈[-1,2]时,f(x)max=7,所以m7,即实数m的取值范围为(7,+∞).答案:B

解析:函数定义域为(0,+∞),由f(x)=0得x=4,因此f(x)在(0,4)内单调递减,在(4,+∞)内单调递增,所以f(x)有唯一极小值f(4)=m-2ln2+1,要使函数没有零点,须有m-2ln2+10,解得m2ln2-1.答案:(2ln2-1,+∞)

【做一做4】设函数f(x)=x2ex.(1)求f(x)的单调区间;(2)若当x∈[-2,2]时,不等式f(x)m恒成立,求实数m的取值范围.

探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用导数研究方程的根或函数的零点例1已知函数f(x)=x3-x2-x+a,g(x)=x3-2x-lnx+3,其中a∈R.(1)若方程f(x)=0只有一个实数根,求实数a的取值范围;(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)有两个零点,求实数a的取值范围.分析(1)方程f(x)=0只有一个实数根,就是函数f(x)的图象与x轴仅有一个交点,因此可分析函数的单调性与极值,通过极值满足的条件建立关于a的不等式求解;(2)函数h(x)有两个零点,就是其图象与x轴有两个交点.

探究一探究二探究三思维辨析当堂检测

探究一探究二探究三思维辨析当堂检测x(0,1)1(1,+∞)h(x)+0-h(x)单调递增↗极大值单调递减↘因此h(x)在x=1取得极大值h(1)=a-3,即为函数h(x)的最大值.要使函数h(x)有两个零点,其图象与x轴应有两个交点,因此极大值h(1)=a-30.解得a3.故a的取值范围为(3,+∞)

探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟方程f(x)=0的根,就是函数y=f(x)的零点,以及函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.因此与方程的根(函数的零点)有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间与极值点,并结合特殊点,得到函数的大致图象,结合图象讨论它与x轴的位置关系,进而确定参数的取值范围.

探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R),当x=1时f(x)取得极值.(1)求a的值;(2)求函数f(x)与函数g(x)=-x2+2x+k(k∈R)的图象的交点个数.解:(1)函数f(x)定义域为(0,+∞),f(x)=2x-.因为当x=1时,f(x)取得极值,所以f(1)=2-a=0,即a=2.

探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(2)令F(x)=f(x)-g(x)=x2-2lnx+x2-2x-k=2x2-2lnx-2x-k,因为x0,所以2x+10.令F(x)=0,则x=1,当x∈(0,1)时,F(x)0,当x∈(1,+∞)时,F(x)0.因此函数F(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.所以F(x)min=F(1)=-k.①当-k0,即k0时,两图象交点个数为0;②当-k=0,即k=0时,两图象交点