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第6章图形的相似(拔尖必刷30题8种题型专项训练)
利用相似三角形性质与判定求长度
利用相似三角形性质与判定求面积
利用相似三角形性质与判定求周长
利用相似三角形性质与判定求最值
利用相似三角形性质与判定解决动点问题
利用相似三角形性质与判定解决新定义问题
利用相似三角形性质与判定解决多结论问题
利用相似三角形性质与判定解决规律探究问题
一.利用相似三角形性质与判定求长度(共4小题)
1.如图,在矩形ABCD中,E为边AB上一点,将△ADE沿DE折叠,使点A的对应点F恰好落在边BC上,连接AF交DE于点G.若BF?AD=12,则AF的长度为(????)
??
A.6 B.12 C.6 D.2
【答案】D
【分析】连接BG,根据矩形的性质可得BG=1
【详解】解:连接BG,在矩形ABCD中,AD∥BC,
∴AE=EF,AD=DF,
∴DE垂直平分AF于点G,
∵∠ABF=90°,
∴BG=1
∴∠GBA=∠GAB,∠BGF=2∠BAG=2∠ADE=∠FDG,
∴△NBF~△DAF,∴BFAF=BG
∴AF?BG=12,
∴12
∴AF=26
故选:D.
??
【点睛】本题考查矩形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、翻折的性质,正确作出辅助线是解题的关键.
2.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是BC边上一点,且BD=AB.E是AB延长线上一点,连接ED交AC于F,若∠ADE=∠B,则EF的长度为.
【答案】161015
【分析】作AM⊥BC于M,根据等腰三角形的性质以及等腰三角形三线合一的性质得出DM=1,CD=3,利用勾股定理求得AD,证得△ADE∽△DCA,求得DE,证得△ADF∽△ACD,求得DF,根据F=DE-DF即可求解.
【详解】解:作AM⊥BC于M,
∵AB=AC=5,BC=8,
∴BM=CM=4,∴AM=
∵BD=AB=5,
∴DM=5-4=1,
∴AD=32
∴∠B=∠C,
∵∠ADE=∠B,
∴∠ADE=∠C,
∵BD=AB,
∴∠BAD=∠BDA,
∵∠BAD=∠ADE+∠E,∠BDA=∠C+∠DAC,
∴∠E=∠DAC,
∴△ADE∽△DCA,
∴DE
∴DE5
∴DE=5
∵∠ADE=∠C,∠DAF=∠CAD,
∴△ADF∽△ACD,
∴DF
∴DF3
∴DF=3
∴EF=DE-DF=5
故答案为:1610
【点睛】题考查了等腰三角形的性质,勾股定理的应用,三角形相似的判定和性质,正确应用性质定理是解题的关键.
3.已知,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=120°,对角线BD平分∠ABC,BC=4,BD=6,则AD的长度是.
??
【答案】3
【分析】过点D作DE⊥AB交AB于E,由四边形内角和可得∠A+∠C=120°,由对角线BD平分∠ABC,知∠ABD=∠CBD=60°,可得∠BDC+∠C=120°,可知∠A=∠BDC,进而可证△ABD∽△DBC,利用其性质求得AB=9,再利用∠ABD=60°求得BE,DE,AE=AB-BE,然后利用勾股定理即可求解.
【详解】解:∵∠ABC=∠ADC=120°,
∴由四边形内角和可知∠A+∠C=120°,
∵对角线BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=60°,
则∠BDC+∠C=120°,
∴∠A=∠BDC,
∴△ABD∽△DBC,则ABBD=BD
∴AB=9,
过点D作DE⊥AB交AB于E,
??
则BE=BD?cos60°=3,
∴AE=AB-BE=6,
∴AD=AE2+D
【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质,解直角三角形,勾股定理,四边形的内角和,证明△ABD∽△DBC是解决问题的关键.
4.在边长为10的菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点O作直线EF分别交DA、BC的延长线于点E、
??
(1)若EF=BD,判断四边形EBFD的形状.并说明理由;
(2)若EF⊥CD于H,CH:DH=2:3,直接写出OH的长度.
【答案】(1)矩形,理由见解析
(2)2
【分析】(1)根据菱形的性质,得AO=OC,AD∥BC,则∠EAO=∠FCO;根据全等三角形的判定,得△EAO≌△FCOASA
(2)根据菱形的性质,AC⊥BD,则∠COH+∠DOH=90°,根据EF⊥CD,得∠COH+∠OCH=90°,根据等量代换∠OCH=∠DOH,根据相似三角形的判定得△OCH∽△DOH;根据相似三角形的性质得到OH2=CH?HD,求出CH=4
【详解】(1)四边形EBFD是矩形,理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=OC,AD∥
∴∠EAO=∠FCO,
∴在△EAO和△FCO中,
∠EAO=∠FCOAO=OC
∴△EAO≌△FCOASA
∴OE=OF,
∵OB=OD,
∴四边
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