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湖南省衡阳2023-2024高三上学期第二次月考

数学试题

注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟

一?单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）

1.若集合，则（）

A. B.

C. D.或

【答案】A

【分析】解集合B中的不等式，得到集合B，再求两个集合的交集.

【详解】不等式解得，则，

又，所以，

故选：A.

2.在复平面内，复数对应的点的坐标为()

A. B. C. D.

【答案】A

【分析】先进行复数的除法运算，进而可得对应点的坐标.

【详解】，所以对应点的坐标为．

故选：A

3.定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（）．

A. B.

C. D.

【答案】A

【详解】由对任意x1，x2[0，＋∞)(x1≠x2)，有0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A.

点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行

4.已知等差数列的公差为d，前n项和为，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用等差数列的前项公式，分别从充分性和必要性两个方面进行判断即可求解.

【详解】因为数列是公差为的等差数列，所以，

，

所以，

若等差数列的公差，则，所以，故充分性成立；

若，则，所以，故必要性成立，

所以“”是“”充分必要条件，

故选：C.

5.某校高三有1000人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布N(105，σ2)，且成绩优良（不低于120分）的人数为360，则此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为（）

A.360 B.640 C.720 D.780

【答案】B

【分析】利用正态分布的性质可解.

【详解】因为，所以，所以此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为.

故选：B

6.椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，若的面积为，则的周长为（）

A.8 B.7 C.6 D.5

【答案】C

【分析】设椭圆的半焦距为，由条件利用表示的面积，由条件列方程求，再由关系求，根据椭圆定义求，由此可求的周长.

【详解】设椭圆的半短轴长为，半焦距为，

则，的面积

由题知，

所以，，

由椭圆的定义知，又，

所以的周长为.

故选：C.

7.设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【分析】由题意可得，令，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直线下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案．

【详解】函数的定义域为，

由，得，所以，

令，

由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，

由，得，

所以当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以，没有最小值，

由，得，

当时，在上单调递增，

在上单调递减，

所以有最大值，无最小值，不合题意，

当时，在上单调递减，

在上单调递增，

所以，

所以即，

所以，即m的取值范围为．

故选：A．

8.如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【分析】利用二面角的正切值求得，由此判断出，且两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积.

【详解】设是的中点，连接，由于，

所以，所以是二面角的平面角，所以，

由得.

在中，，

在中，，

在中，由余弦定理得：，

所以，

由于，所以两两垂直.

由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为.

设正方体外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为，

故选：A.

二?多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

9.已知向量，则下列结论正确的是（）.

A. B.

C.向量的夹角为 D.在方向上的投影向量是

【答案】AC

【分析】对于A，根据向量的加法和数量积的坐标表示，可得答案；

对于B，根据向量的数乘以及加法坐标公式，结合模长的坐标公式，可得答案；

对于C，根据向量夹角公式，可得答案；

对于D，根据投影的定义，结合向量数乘的几何意义，可得答案.

【详解】对于A，，由，则，故A正确；

对于B，，，故B错误；

对于C，，，，则，即向量的夹角为，故C正确；

对于D，在方向上的投影向量是，故D错误.

故选：AC.

10.设等比数列的前项和为，前项积为，若满足，，，则下列选项正确的是（）