高考数学科学复习创新方案提升版第44讲空间向量在立体几何中的应用.docxVIP

第44讲空间向量在立体几何中的应用

[课程标准]1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.3.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单的夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．

1．直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量

在直线l上取非零向量a，把与aeq\x(\s\up1(01))平行的非零向量称为直线l的方向向量．

(2)平面的法向量

直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量．

2．空间位置关系的向量表示

位置关系

向量表示

直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2

l1∥l2

n1∥n2?n1＝λn2

l1⊥l2

n1⊥n2?eq\x(\s\up1(02))n1·n2＝0

直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m

l∥α

n⊥m?eq\x(\s\up1(03))m·n＝0

l⊥α

n∥m?n＝λm

平面α，β的法向量分别为n，m

α∥β

n∥m?n＝λm

α⊥β

n⊥m?eq\x(\s\up1(04))m·n＝0

3.空间向量与空间角的关系

(1)两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，向量a与b的夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝eq\x(\s\up1(05))eq\f(|a·b|,|a||b|)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中φ为异面直线a与b所成的角，范围是\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))))).

(2)直线与平面所成角的求法

如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝eq\x(\s\up1(06))eq\f(|e·n|,|e||n|)，φ的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

(3)求二面角的大小

如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的射线，则二面角的大小θ＝eq\x(\s\up1(07))〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉．

如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉，取值范围是[0，π]．

注：注意二面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的取值范围是[0，π]，两个平面的夹角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

4．向量法求空间的距离

(1)点到直线的距离

如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，则点P到直线l的距离d＝eq\x(\s\up1(08))eq\r(\o(AP,\s\up6(→))2－(\o(AP,\s\up6(→))·u)2)．

(2)点到平面的距离

如图，A是平面α内的定点，B是平面α外一点，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝eq\x(\s\up1(09))eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)．

(3)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．

确定平面法向量的方法

(1)直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量．

(2)待定系数法：取平面内的两个相交向量a，b，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0，))解方程组求得．

1．(2023·台州检测)已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，则直线l与平面α所成的角为()

A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)

C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,2)

答案A

解析设直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝eq\f(1,2).∵θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴θ＝eq\f(π,6).故选A.

2．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这两个平面夹角的余弦值为()

A.eq\f(\r(15),6) B．－eq\f(\r(15),6)

C.eq\f(\r(15),3) D．－eq\f(\r(15),3)

答案A

解析eq\f(|（0，－1，3）·（2，2，4）|,\r(1＋9)×\r(4＋4＋16)