人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第4章 数列 习题课——数列求和.ppt

习题课——数列求和第四章

内容索引010203自主预习新知导学合作探究释疑解惑随堂练习

课标定位素养阐释1.掌握裂项相消求和的方法.2.掌握分组求和的方法.3.掌握错位相减求和的方法.4.提升数学建模能力与数据分析能力,提升数学运算的基本素养.

自主预习新知导学

一、裂项相消法2.是不是所有的数列求和都可以直接用这两个公式求解?提示:不是.3.将数列中的每项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的的方法叫做裂项相消法.

答案:B

二、错位相减法1.等比数列的前n项和公式的推导方法叫做错位相减法.2.什么情况下可以用错位相减法求和?提示:当一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成时可以用错位相减法求和.

3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=n·2n,则Sn=.?解析:∵an=n·2n,∴Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,①∴2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1.②①-②,得-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1∴Sn=(n-1)2n+1+2.答案:(n-1)2n+1+2

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.√√√

合作探究释疑解惑

探究一裂项相消法求数列的和

反思感悟1.若数列{an}是各项均不为零的等差数列,公差为d(d≠0),2.常用到的裂项公式有如下形式:

【变式训练1】已知数列{an}的前n项和为Sn=n2.(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)当n=1时,S1=a1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,此时n=1也满足上式,故an=2n-1.(2)∵bn=an·an+1,∴bn=(2n-1)(2n+1),

探究二分组求和法【例2】已知数列{an},a1,(a2-a1),…,(an-an-1),…构成首项为1,公比为的等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和Sn.

反思感悟具有以下特点的数列{an}常用分组求和法求和.(1)数列{an}满足an=bn±cn,其中{bn},{cn}为等差数列或等比数列.

若将数列改为“1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…”,如何求其前n项和?

【变式训练2】已知数列{an}是公比为2的等比数列,且a2,a3+1,a4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=an+log2an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)由题意可得2(a3+1)=a2+a4,即2(4a1+1)=2a1+8a1,解得a1=1,故数列{an}的通项公式为an=2n-1.(2)因为bn=an+log2an+1=2n-1+n,所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=(1+2+3+…+n)+(20+21+22+…+2n-1)

探究三用错位相减法求数列的和【例3】求和:Sn=x+2x2+3x3+…+nxn(n∈N*).解:(1)当x=0时,Sn=0.

(3)当x≠0,且x≠1时,Sn=x+2x2+3x3+…+(n-1)xn-1+nxn,①xSn=x2+2x3+…+(n-1)xn+nxn+1,②

若若已知数列{(2n-1)an-1}(a≠0,n∈N*),求它的前n项和Sn.当a≠1时,有Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)·an-1,①aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-1)an.②①-②,得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an.

反思感悟1.一般地,若数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且公比为q(q≠1),求数列{anbn}的前n项和时,可采用错位相减法.2.运用等比数列前n项和公式时,必须注意公比q是否为1.若不能确定公比q是否为1,应分类讨论.3.在写Sn和qSn的表达式时,应特别注意“错项对齐”,以便于下一步准确写出Sn.

【变式训练3】已知各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列.(1)求{an}的通项公式;

解:(1)设等差数列{an}的公差为d,∵2a1,a2,a3+1成等比数列,解得a1=1,d=3或a1=8,d=-4(舍去),∴an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2.

【思想方法】用分段求和的思想解决问题

方法点睛类似典例中的分段数列求和问题,一般是转化为等差数列与等比数列问题求解,解题时需要对数列的项数及奇数项、偶数项的项数进行分类讨论说明,需要特别说明的是在分段数列中,规律是隔项成等差数列或成等比数列.

解:因为2n为偶数,所以奇数项与偶数项各有n项.所以S2n=[1+3+