第13讲　函数与方程.docx

PAGE

PAGE1/NUMPAGES17

第13讲函数与方程

一、基础自测

1．f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数是()

A．0 B．1

C．2 D．3

2．函数y＝eq\f(3,x)－lnx的零点所在区间是()

A．(3，4) B．(2，3)

C．(1，2) D．(0，1)

3．(多选)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：

x

1

2

3

f(x)

136.136

15.552

－3.92

x

4

5

6

f(x)

10.88

－52.488

－232.064

在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()

A．(1，2) B．(2，3)

C．(3，4) D．(4，5)

4．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为()

A．a＞b＞c B．b＞c＞a

C．c＞a＞b D．b＞a＞c

5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0，,－x2－2x，x≤0，))若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是()

A．(－∞，0) B．

C．(1，＋∞) D．(0，1)

二、知识梳理

1．函数零点及二分法

函数零点

概念

函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，亦即函数y＝f(x)的图象与x轴交点的__横坐标__，即：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．

存在定理

(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②__f(a)·f(b)__＜0.

(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

二分法

方法

对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

步骤

第一步

确定区间[a，b]，验证__f(a)·f(b)＜0__，给定精确度ε

第二步

求区间[a，b]的中点c

第三步

计算f(c)：(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))；(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).

2．常用结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．

(2)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示，所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．

三、聚焦考点，精讲精练

考向1零点所在区间的判定

例1已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m＝()

A．－2 B．－1

C．0 D．1

经验总结

确定函数零点所在区间的方法：(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点的存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，判断图象与x轴在给定区间上是否有交点．

变式若x0是方程eq\s\up12(x)＝xeq\s\up6(\f(1,3))的根，则x0属于区间()

A． B．

C． D．

考向2零点个数的判定

例2已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x≤0，,|log2x|，x＞0，))则函数g(x)＝f(x)－eq\f(1,2)的零点个数为()

A．0 B．1

C．2 D．3

经验总结

函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点；(2)零点存在定理，应注意：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点；(3)作出两函数的图象，观察其交点即得零点个数．

变式设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为()