3.1 指数幂的拓展.DOCXVIP

1指数幂的拓展

【必威体育精装版课标】通过对有理数指数幂amn(a0，且a≠1，m，n为整数，且n0)，实数指数幂ax(a0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数

新知初探·自主学习

教材要点

要点一分数指数幂

1．分数指数幂：给定正数a和正整数m，n(n1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的________次幂，记作b＝________．

状元随笔

(1)所谓两个正整数m，n互素(也叫互质)指的是m，n除1之外没有其他正约数(此时，称mn为既约分数)，例如：2和5互素，但是3和9

(2)对于amn，显然不能理解成mn个a相乘，那么，怎么理解它的意义呢？一是根据定义：满足bn＝am的正数b就是amn；二是借助根式：有时也把amn看成根式nam，可以看出，amn就是正数am的n次算术根．例如：

(3)当k是正整数时，amn

(4)对于正分数指数幂，规定其底数是正数，例如：虽然3-27＝－3，但是不能写成(－27)1

2．负分数指数幂：对于给定的正数a和正整数m，n(n1，且m，n互素)，定义a-mn＝________

状元随笔

(1)类比负整数指数幂的定义(a－n＝1an)，相对照而记忆；可以看出，负整数指数幂也是“化负为正

(2)定义了负分数指数幂之后，幂的指数就由原来的整数范围扩充到有理数范围．

要点二分数指数幂与根式的互化

(1)正分数指数幂的根式形式：amn＝nam

(2)负分数指数幂的根式形式：a-mn＝1nam(a0，m，n∈N＋，且n1，且

(3)0的分数指数幂：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．

要点三无理数指数幂

一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，可以用类似的方法定义一个实数aα，自然地，规定：a－α＝1aα，例如，1-2

基础自测

1.判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)根式一定是无理式．()

(2)在分数指数幂amn中，m与n可以为任意整数．(

(3)ap(p是无理数，a0)是一个实数且是一个无理数．()

(4)函数y＝1与y＝x0是同一函数．()

2．若a6＝8(a0)，则a＝()

A．68B．86

C.6

3．若将432写成根式，下列写法正确的是(

A．342B

C．432D

4．计算64-23的值

课堂探究·素养提升

题型1分数指数幂的概念及应用——自主完成

1．在2x+1-12中，实数x

2．将下列各式中的a(a0)写成分数指数幂的形式：

①a3＝54；②a3＝(－2)8；③a－3＝104m(m∈N＋)；④a－2＝6.

方法归纳

(1)分数指数幂是一个正实数，即b＝amn?bn＝am，其中a，b均为正实数，且m，n∈Z，m，

(2)将bk＝d中的正实数b改写成分数指数幂的形式时，主要根据分数指数幂的意义，同时一定要注意式子中字母的取值要求．

题型2分数指数幂与根式的互化——师生共研

例1(1)将下列各式化为根式：①x12y

(2)将下列各式化为分数指数幂：①3x6；②

状元随笔进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式amn＝nam(a0，m，n∈

(1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式；

(2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简．

跟踪训练13-32化为根式为________；用分数指数幂表示b

题型3指数幂amn

例2计算下列各式的值：(1)823；(2)125-3

方法归纳

求指数幂的值时，首先要将指数幂转化为根式的形式，然后再进行计算．注意积累和记忆10以内的常用的正整数的幂值，这是快速、准确进行幂值计算的关键．

跟踪训练211634

2169-

381625-

易错辨析化简na

例3化简31+23＋4

解析：原式＝(1＋2)＋|1－2|＝1＋2+2－1＝2

答案：22

易错警示

易错原因

忽视了1－20，则41-24＝1－

纠错心得

关于根式nan的化简一定要弄清n是奇数还是偶数，并且还要明确a的正负．一般结论为：n

(其中n≥2，且n∈N＋)．

温馨提示：请完成课时作业(二十二)

第三章指数运算与指数函数

1指数幂的拓展

新知初探·自主学习

要点一

1．mn

2．1am

[基础自测]

1．(1)×(2)×(3)×(4)×

2．答案：D

3．答案：B

4．解析：64-23＝16423＝

答案：1

课堂探究·素养提升

题型1

1．解析：由分数指数幂的意义知，应有2x＋10，

解得x－12，故实数x的取值范围是(－12，＋∞

答案：(－12，＋∞

2．解析：①a＝54

②a＝(－2)83，即

③a＝10-