高等代数课件.pptx

§1.1数域;一数系的发展

(代数运算的封闭性促进了数的扩张);;§1.2一元多项式;一.一元多项式的概念(P:给定数域);;;;;乘法结合律证明过程验证:;§1.3整除的概念;一问题引入;;;;;;该命题说明,整除性与系数域无关.如果多项式f(x)

在P[x]中不能整除g(x),则在更大范围内f(x)也不能整

除g(x).

作业:P44习题1.2),习题2.1),习题3.1),习题4.1).

;补充:综合除法;;;;;三应用：辗转相除求最大公因式;;一问题提出;二不可约多项式的概念;证明：必要性设f(x)在P上不可约，假定f(x)在P[x]中有非平凡因式g(x)→g(x)|f(x),?g≠0,且?g≠?f(否则,g(x)是非零常数或f(x)=kg(x),k(≠0)∈P→g(x)=k-1f(x)=cf(x),均为平凡因式)→f(x)=g(x)h(x),其中0＜?g,?h＜?f,这与f(x)在P上不可约矛盾→f(x)无非平凡因式.

充分性设f(x)在P[x]中只有平凡因式→f(x)在P[x]中不能写成两个次数低于?f的多项式的乘积形式→f(x)不可约.□注1：“不可约”与“互素”概念不同.前者是多项式自身属性的刻画，后者却是多项式之间的一种二元关系.

注2：提出一个问题—f,g∈P[x],随着P的的扩大，f,g的因式有可能增加，那么共因式会不会增加？（该问题的解决放在以后进行高论）.

;;;;;;问题讨论：问题—f,g∈P[x],随着P的扩大，f,g的因式有可能增加，那么公因式会不会增加？或说f,g的最大公因式是否与系数域有关？;得f=qg+r,r=0或?r＜?g成立.假定另有q/,r/∈P/[x],

使得f=q/g+r/,r/=0或?r/＜?g成立,因q,r∈P/[x],故

由唯一性得q=q/,r=r/.

若f,g∈P/[x],P?P/→据带余除法定理,存在唯一

的q,r∈P/[x],使得f=qg+r,r=0或?r＜?g成立.假定

另有q/,r/∈P[x],使得f=q/g+r/,r/=0或?r/＜?g成立,

由于q/,r/∈P/[x],故由唯一性得q=q/,r=r/.

以上讨论说明，带余除法中的商式，余式与系数

域的改变无关→最大公因式的计算完全由带余除法中

所得余式确定,故最大公因式与系数域无关→公因式

存在于最大公因式之中,故f,g的公因式与系数域的改

变无关（尽管f,g的因式随系数域的扩大有可能??加）.;§1.6重因式;一重因式的概念;二重因式的判定;;;;;1.7多项式函数;一多项式函数概念;;;;;;

F

;复习：集合A到B的双射的判定;证明F是映射：对任意f(x),g(x)∈P[x],f(x)=g(x),即

表达式一模一样→对任意α∈P,f(α)=g(α)→函数

f(x)=g(x),故F是P[x]到M的映射.

证明F是满射：对任意f(x)∈M,显然确定P[x]中的一

个关于文字x的多项式f(x),故F是满射.

证明F是单射：对任意f(x),g(x)∈M→对任意α∈P

f(α)=g(α)→据定理9可知f(x)=g(x)(f(x),g(x)∈P[x])

故F是单射.

综上所述，P[x]与M之间一一对应.所以数域P上的

多项式可作为形式表达式来处理,也可作为函数来处

理,并不会产生矛盾性.但是作为不同的概念,它们有一

般概念和特殊概念的区别.;;历史回顾:;该定理证明最后是由高斯于1799年给出的(按现代观点

讲，证明不完整).

(2)如何求解集中两种方法：①近似解法,已成为

计算数学的课题；②根号解，如果方程的根能用方

程系数通过有限次四则运算及开方运算求之，则说该

方程可用根号求解.对于三次、四次方程,在16世纪已

经找到根号求解的一般公式，19世纪，利用加罗瓦理

论证实，五次以上的方程不存在用根号表示根的一般

公式.;1.8复系数，实系数多项式的因式分解;;二实数域上多项式的因式分解;;;1.9有理系数多项式;本节要得到的两个重要事实