高等数学课件.pptx

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线性方程组

;2.1消元法;②一个矩阵,可表示为A或。;②一般地一个矩阵经过初等变换后,变成了另一个矩阵。;r行(1)进而化为以下形式:;证明:若矩阵A的所有元素都是零。则A也是(1)的形式

若A的某一个元素不为零,则通过交换矩阵的行和列可以把这个元素换到

左上方去,又用去乘第一行,使得左上方的元素为1。然后由其余各行分别减去第一行适当的倍数。矩阵A就化为:;在B中,若除第一行外,其余各行的元素全为零,则B也是(1)的形式。若B中右下行的一块;交点上。然后用与上面同样的方法可把B化为:;;有关矩阵的基本概念,现在回过头来研究一般线性方程组。;称为方程组(1)的增广矩阵。;解:第二个方程减去第一个方程的2倍,第三个方程减去第一个方程得:;可以取任何值。;

;

;⑶有解,又⑴与⑵同解。;方程组⑷中“0=0”是一些恒等式,;;;;;;则;在有解的情况下,如果阶梯形方程组中方程个数r等于未知量个数n,;解:;得出最后矩阵对应的方程组:;解:; ;;4.2矩阵的秩线形方程组可解的判别法;(甲)上节知道(1)的系数矩阵;并且看到:;(乙)关于方程组(1)什么时候有解,什么时候 无解的原因还不清楚。;定义1在一个的矩阵中,任取k行k列位于这些行列交点处的个元素按顺序构成k阶行列式叫这个矩阵的一个k阶子式。;问题:在矩阵(3);首先假设r这时矩阵(3)含有一个r子式:

;定义2.一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫这个矩阵的秩;若一个矩阵没有等于零的子式,就认为这个矩阵的秩是零。;定理1初等变换不改变矩阵的秩;下列我们只证明第三种初等变换后,矩阵的秩不变:;我们要证明:秩B=秩A,即证明秩B即可。;(ⅰ)D不含第i行元素,这时D也是A的一个s阶子式。由于秩A=r且sr

;;;(因为后一行列式是A的一个S阶子式.);其中;=0又与A的一个S阶子式最多相差一个符号.;由于A;对于另两种初等变换来说,可以完全

类似地证明;利用初等变换把A化为形式为:;的矩阵,然后数一数有几个含有非零

元素的行的行数即为A的秩。;即A=;由前面所学的知识。矩阵A可以进行初

等变换为:;对;;由此得:或者;1.例子:;同样:把方程组;;;例看(1)的原;为此,我们把;;这就证明了(1)的第m-r个方程都是第r个方程的结果。而解(1)归纳为解方程组(2)。

说明:①由定理得:如果与的秩都是r.则可用r个方程代替原方程组.即(2)代替(1).;暂时把记为已知量,则(2)就是r个未知量,r个方程的方程组.由克莱姆法则可解出来:;为自由未知量,只要给定的自由未知量一组数,就可求出的对应值,并且(1)的所有解都可以这样得到.;故(4)称为(1)的公式解

说明:用公式来求线性方程组的解是比较麻烦的,因为需要计算许多行列式.因此,实际求解时,一般总是用消元法.但在对方程进行讨论时,即它在理论上是很重要的.;;作为自由未知量及:;;;就是它的一个解,这个解称为零解。;当r=n时,有一个解,即零解。

当rn时,有无穷多个解,因而除零解外,必然有非零解。;推论2在一个齐次线性方程组中,若方程个数m小于未知量个数n,则有非零解。

事实上:系数矩阵的秩不超过m,因而小于n,故有非零解。;矩阵;3.0矩阵的概念;矩阵的应用;3.1矩阵的运算;

一个m行n列矩阵称为一个m×n矩阵。特别,把一个n×n矩阵叫做一个n阶方阵,或n阶矩阵。

以下我们引入三种运算:

数与矩阵的乘法,

矩阵的加减

矩阵的乘法。

;定义1

数域F的数a与F上一个m×n矩阵A=(a)的乘积aA指的是m×n矩阵(a)。求数与矩阵乘积的运算叫做数与矩阵的乘法。

注意,用a去乘以的每一个元素a

;

我们把由F的n个数所组成的

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