人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线的方程 3.3.1 抛物线及其标准方程.ppt

;内容索引;自主预习新知导学;一、抛物线的定义

1.抛物线的定义;二、抛物线的标准方程

1.抛物线的标准方程;;2.下列关于抛物线x2=4y的描述正确的是()

A.开口向上,焦点坐标为(0,1);合作探究释疑解惑;;(2)由题知点(-3,2)在第二象限,

设抛物线的标准方程为y2=-2px(p0)或x2=2py(p0),;(3)①令x=0,由方程0-2y-4=0得y=-2,

故抛物线的焦点坐标为(0,-2).

设抛物线的标准方程为x2=-2py(p0),

则由=2,得2p=8,故所求抛物线的标准方程为x2=-8y.

②令y=0,由x-0-4=0得x=4,故抛物线的焦点坐标为(4,0).设抛物线的标准方程为y2=2px(p0),由=4得2p=16,故所求抛物线的标准方程为y2=16x.

综上可知,抛物线的标准方程为x2=-8y或y2=16x.

(4)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.;反思感悟1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤:;2.求抛物线的标准方程时需注意的三个问题

(1)把握开口方向与方程间的对应关系.

(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数.

(3)注意p与的几何意义.;【变式训练1】根据下列条件求抛物线的标准方程:

(1)焦点在y轴上且过点(-1,-3);

(2)过点(4,-8).

解:(1)如图①所示,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p0),;;(2)已知抛物线y2=4x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,对于定点A(4,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时的点P的坐标.

分析:(1)由条件及抛物线的定义求出点P的横、纵坐标,则△POF的面积易得.

(2)利用抛物线的定义,把|PF|转化为点到准线的距离.

解:如图,作PN⊥l于点N(l为准线),作AB⊥l于点B,

则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|≥|AB|,

当且仅当P为AB与抛物线的交点时,取等号.

故(|PA|+|PF|)min=|AB|=4+1=5.

此时yP=2,代入抛物线方程得xP=1,P(1,2).;将本例(2)点A坐标改为(3,4),点P到抛物线准线的距离为d,其他条件不变,则|PA|+d的最小值为.?

解析:由题意可知点(3,4)在抛物线的外部,d=|PF|.

∵|PA|+d=|PA|+|PF|的最小值即为A,F两点间的距离,;反思感悟抛物线定义的两种应用

(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线??义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.

(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题.;【变式训练2】(1)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为();(2)若抛物线y2=-2px(p0)上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和点M的坐标.;;解:(1)设动圆圆心为M(x,y),半径为r,

则由题意可得M(x,y)到圆心C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等.

由抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y.

(2)以桥的拱顶为坐标原点,拱高所在的直线为y轴,建立直角坐标系(如图).

设抛物线的方程是x2=-2py(p0),由题意知点A(4,-5)在抛物线上,;反思感悟1.求动点轨迹方程的方法:定义法,判断动点的轨迹是否满足抛物线的定义.若满足抛物线的定义,则可按抛物线标准方程的形式写出方程.

2.求解与抛物线有关的实际应用题的五个步骤:

(1)建立适当的坐标系;

(2)设出合适的抛物线标准方程;

(3)通过计算求出抛物线的标准方程;

(4)求出需要求出的量;

(5)还原到实际问题中,从而解决实际问题.;【变式训练3】已知动圆M经过点A(3,0),且与直线l:x=-3相切,求动圆圆心M的轨迹方程.

解:设动点M(x,y),☉M与直线l:x=-3的切点为N,

则|MA|=|MN|,即动点M到定点A和定直线l:x=-3的距离相等,故点M的轨迹是抛物线,且以A(3,0)为焦点,以直线l:x=-3为准线,则=3,p=6,故动圆圆心M的轨迹方程是y2=12x.;本课结束