人教A版高中同步学考数学必修4精品课件 第二章 2.3.2~2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算.pptVIP

2.3.2~2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算

一、平面向量的坐标表示1.如图,向量i,j是两个互相垂直的单位向量,向量a与i的夹角是30°,且|a|=4,以向量i,j为基底,向量a如何表示?

2.填空:(1)平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.(2)平面向量的坐标表示①基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.②坐标:对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做向量a在x轴上的坐标,y叫做向量a在y轴上的坐标.③坐标表示:a=(x,y)就叫做向量的坐标表示.④特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).

3.做一做:在平面直角坐标系中,若i,j是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,且a=2i-6j,b=5j,c=-4i,则向量a,b,c的坐标分别是,,.?答案:(2,-6)(0,5)(-4,0)

二、平面向量的坐标运算1.设i,j是与x轴、y轴同向的两个单位向量,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,根据向量的线性运算性质,向量a+b,a-b,λa(λ∈R)如何分别用基底i,j表示?提示:a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j,a-b=(x1-x2)i+(y1-y2)j,λa=λx1i+λy1j.

2.填空:平面向量的坐标运算法则:若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则

3.做一做:(1)若a=(3,-2),b=(-1,4),则2a+3b=.?A.(10,7) B.(10,5)C.(-4,-3) D.(-4,-1)答案:(1)(3,8)(2)C

自主检测判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)一个坐标对应唯一的一个向量.()(2)相等的向量,即坐标是相同的.()(3)相等的向量其终点坐标与起点坐标是相同的.()(4)一个向量的坐标等于其起点的坐标减去其终点的坐标.()(5)任何平面向量都有唯一的坐标.()(6)若a=(1,-2),则必有a=i-2j,其中i,j是与x轴、y轴正方向相同的单位向量.()

(9)表示两个相等向量的有向线段的始点、终点是相同的.()答案:(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√(6)√(7)×(8)√(9)×

探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一向量的坐标表示例1(1)已知i,j分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,a=3i-2j,b=-i+5j,求向量a+4b的坐标.分析:(1)将a+4b先用i,j表示,再转化为坐标的形式;(2)先求出点A,B,C,D的坐标,再根据点的坐标与向量坐标的关系求出向量坐标.

探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)因为a=3i-2j,b=-i+5j,所以a+4b=(3i-2j)+4(-i+5j)=3i-2j-4i+20j=-i+18j,因此向量a+4b的坐标为(-1,18).(2)如图,正三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos60°,2sin60°),

探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟求平面向量坐标的方法:(1)若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+yj时,向量a的坐标即为(x,y).(2)向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标,只有当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.(3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.

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探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究二向量的坐标运算分析:对于(1)可直接运用坐标运算法则进行计算;(2)应先求出相关向量的坐标,再运用法则计算.

探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)因为a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),所以a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10),

探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟向量坐标运算要注意的问题(1)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,要注意三角形法则及平行四边形法则的应用.(2)若是给出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.

探究一探究二探究三思维辨析当堂检测A.(4,6) B.(-4,-6