人教A版高中同步学考数学必修4精品课件 第二章 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义.pptVIP

2.4平面向量的数量积

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

一、平面向量数量积的定义1.如图,一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功应当怎样计算?决定功大小的量有哪几个?力、位移及其夹角分别是矢量还是标量?功是矢量还是标量?提示:由物理知识容易得到W=|F||s|cosα,决定功的大小的量有力、位移及其夹角,其中力、位移是矢量,功是标量.

2.填空:(1)两个非零向量的数量积.(2)规定:零向量与任一向量的数量积为零.3.关于平面向量数量积的说明:(1)“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”;(2)数量积的结果为数量,不再是向量;(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定:当θ是锐角时,数量积为正;当θ是钝角时,数量积为负;当θ是直角时,数量积等于零.

答案:(1)-2(2)8

二、平面向量数量积的几何意义1.向量运算中的加法、减法、数乘都有几何意义,数量积运算有没有几何意义?观察下列图形,如何表达OB1?它与数量积的关系是什么?提示:向量的数量积也有几何意义,题图中OB1=|b|cosθ,a·b=|a|OB1.

2.填空:(1)投影的概念①向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ.?②向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ.?(2)数量积的几何意义.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.?3.关于投影的说明:(1)向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影是不同的;

4.做一做:(1)若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120°,则向量a在向量b方向上的投影等于.?(2)若a·b=-6,|a|=8,则向量b在向量a方向上的投影等于.?

三、平面向量数量积的运算律1.如果根据实数乘法的运算律,类比得出向量数量积的运算律,如下表,这些结果正确吗?提示:除结合律中的(a·b)·c=a·(b·c)是错误的,其他都是正确的.

2.填空:向量数量积的运算律

四、平面向量数量积的性质1.填空:向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量,它们的夹角为θ.(1)a⊥b?a·b=0.(5)|a·b|≤|a||b|.

答案:30°

自主检测判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)0·a=0a.()(2)若a·b=0,则a与b至少有一个为零向量.()(3)若a·b0,则a与b的夹角为锐角.()(4)若a·c=b·c(c≠0),则a=b.()(5)对于任意向量a,都有a·a=|a|2.()(6)一个向量在另一个向量方向上的投影是一个向量.()(7)(a·b)·c=a·(b·c).()(8)两向量数量积的符号是由两向量夹角的余弦值决定的.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×(7)×(8)√

探究一探究二探究三当堂检测探究一求平面向量的数量积角度1数量积的简单计算例1已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:(1)a·b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)·(a+3b);(4)|a+b|.分析:依据数量积、模、夹角的定义→逐一进行计算即可(2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|cos120°-3|b|2=8-15-27=-34.

探究一探究二探究三当堂检测反思感悟求向量的数量积时,需明确两个关键点:相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.

探究一探究二探究三当堂检测角度2几何图形中的数量积的计算

探究一探究二探究三当堂检测反思感悟(1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解.

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探究一探究二探究三当堂检测探究二利用数量积求向量的模例3(1)已知向量a,b满足|a|=|b|=5,且a与b的夹角为60°,则|2a+b|=.?(2)已知向量a与b的夹角为30°,且|a|=1,|2a-b|=1,则|b|=.?

探究一探究二探究三当堂检测反思感悟根据数量积的定义a·a=|a||a|cos0°=|a|2,得|a|=,这是求向量的模的一种方法.即要求一个向量的模,先求这个向量与自身的数量积(一定非负),再求它的算术平方根.对于复杂的向量也