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江苏省南京市秦淮区2025届高三数学上学期期中试题（含解析）

留意事项：

1.本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题），解答题（第15题～第20题）两部分，本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.

2.答题前，请务必将自己的姓名、学校，班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答卷纸.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答卷纸相应位置上.

1.已知集合，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

依据交集的定义，即可求解.

【详解】，，

.

故答案为:.

【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.

2.函数的定义域是______.

【答案】

【解析】

【分析】

由对数的真数大于零，即可求解.

【详解】函数有意义须，，

所以函数的定义域为.

故答案为:.

【点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题.

3.计算：_______.

【答案】2

【解析】

【分析】

依据对数的运算性质，即可求解.

【详解】.

故答案为:2.

【点睛】本题考查对数的运算，熟记公式是解题的关键，属于基础题.

4.不等式的解集为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

由指数函数的单调性，将不等式化为，求解即可.

【详解】，化为，

解得，

所以不等式的解集是.

故答案为:.

【点睛】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性应用是解题的关键，属于基础题.

5.在平面直角坐标系xOy中，点在直线上，则OP的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

OP的最小值为点O（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离．

【详解】∵在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0上，

∴OP的最小值为点O（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离：

d2．

故答案为2．

【点睛】本题考查两点间的距离的最小值的求法，考查点到直线的距离公式等基础学问，考查运算求解实力，是基础题．

6.已知平面对量，，则与的夹角为______.

【答案】

【解析】

【分析】

求出向量的坐标，然后利用向量夹角的余弦公式可计算出与的夹角的余弦值，进而可求出这两个向量的夹角.

【详解】，，，.

设与的夹角为，则，，，

因此，与的夹角为.

故答案为：.

【点睛】考查向量坐标加法和数量积运算，以及向量夹角的余弦公式，考查计算实力，属于基础题.

7.设函数，（其中，）的部分图象如图，则函数的解析式为_______.

【答案】

【解析】

【分析】

由过求的值，依据五点画法坐标求出，即可求出结论.

【详解】过点，

，或，

函数在轴右侧第一个最高点坐标为

若时，，

若时，（舍去），

.

故答案为:.

【点睛】本题考查函数图像求解析式以及五点画法点的坐标，属于中档题.

8.设函数的导函数为，若的图象在点处的切线方程为，则的值为______.

【答案】4

【解析】

【分析】

切点在切线上求出，再由导数的几何意义和切线方程可得，即可求解.

【详解】的图象在点处的切线方程为，

.

故答案为:4.

【点睛】本题考查导数的几何意义，留意运用切点在切线上，属于基础题.

9.已知函数，若对于随意的都有，则实数的取值范围为.

【答案】

【解析】

【详解】因为函数的图象开口向上的抛物线，

所以要使对于随意的都有成立，

，解得，

所以实数的取值范围为．

【考点】二次函数的性质．

10.在平面直角坐标系中，已知一动直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积比直线的纵截距、橫截距之和大1，则该三角形面积的最小值为_____.

【答案】

【解析】

【分析】

设直线方程为，求出直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，建立关系，结合基本不等式，求出的最小值，即可求出结论.

【详解】设直线方程为，依题意得

，

当且仅当时，等号成立，

或（舍去），

，

所求的三角形面积的最小值为.

故答案为:.

【点睛】本题以直线方程为背景，考查应用基本不等式求最值，属于基础题.

11.如图，已知四边形为平行四边形，，，是边上一点，且，若，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

以为基底，将用基底表示，由已知求出，再由向量数量积的运算律，即可求解.

【详解】

，

，

.

故答案为:.

【点睛】本题考向量的线性运算、向量基本原理、向量的数量积，考查计算求解实力，属于基础题.

12.设函数，若，则实数的取值范围为_____.

【答案】

【解析】

【分析】

依据已知可得为奇函数且在上单调递增，不等式化为，转化为关于自变量不等式，即可求解.

【详解】的定义域为，

，

是奇函数，设为增函数，

在为增函数，在为增函数，

在处连续的，所以在上单调递增，

，化为，

等价于，即，

所以实数的取值范围为.

故答案: