人教A版高中同步训练数学必修第一册精品课件 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质.pptVIP

2.1等式性质与不等式性质

课前·基础认知课堂·重难突破

课前·基础认知

1.不等关系不等关系常用不等式来表示.?2.实数a,b的大小比较的基本事实

3.重要不等式一般地,?a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.?4.等式的基本性质(1)性质1:如果a=b,那么b=a.(2)性质2:如果a=b,b=c,那么a=c.(3)性质3:如果a=b,那么a±c=b±c.(4)性质4:如果a=b,那么ac=bc.(5)性质5:如果a=b,c≠0,那么

5.不等式的基本性质(1)性质1:ab?ba.?(2)性质2:ab,bc?ac.?(3)性质3:ab?a+cb+c.?(4)性质4:ab,c0?acbc;ab,c0?acbc.?(5)性质5:ab,cd?a+cb+d.?(6)性质6:ab0,cd0?acbd.?(7)性质7:ab0?anbn(n∈N,n≥2).?

微提醒1.在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提,不可强化或弱化成立的条件.2.要注意每条性质是否具有可逆性.

课堂·重难突破

一用不等式(组)表示不等关系典例剖析1.已知某列车的速度为v1(单位:km/h),这个速度的2倍再加上100km/h,不超过民航飞机的最低速度v2(单位:km/h),可列车的速度已经超过了普通客车速度v3(单位:km/h)的3倍,请你用不等式表示三种交通工具的速度关系.解:由题意,得v1,v2的关系为2v1+100≤v2,v1,v3的关系为v13v3.

规律总结用不等式(组)表示不等关系的步骤

(1)读懂题意,找准不等式所联系的量.

(2)用适当的不等号连接.

(3)多个不等关系用不等式组表示.

提醒:在用不等式(组)表示实际问题时,一定要注意单位的统一.

学以致用1.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,要求菜园的面积不小于100m2,靠墙的一边长为xm.试用不等式表示其中的不等关系.

解:由于矩形菜园靠墙的一边长为xm,而墙长为18m,所以0x≤18,

二比较两数(式)的大小典例剖析2.已知x≤1,试比较3x3与3x2-x+1的大小.解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).∵x≤1,∴x-1≤0,而3x2+10,∴(3x2+1)(x-1)≤0,∴3x3≤3x2-x+1.

规律总结作差法比较两个实数大小的基本步骤

学以致用2.(1)若a=3x2-x+1,b=2x2+x,则()A.ab B.abC.a≥b D.a≤b答案:C解析:a-b=(3x2-x+1)-(2x2+x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以a≥b.

(2)已知xy0,试比较x3-2y3与xy2-2x2y的大小.解:由题意,知(x3-2y3)-(xy2-2x2y)=x3-xy2+2x2y-2y3=x(x2-y2)+2y(x2-y2)=(x2-y2)(x+2y)=(x-y)(x+y)(x+2y).∵xy0,∴x-y0,x+y0,x+2y0,∴(x3-2y3)-(xy2-2x2y)0,即x3-2y3xy2-2x2y.

三利用不等式的性质判断或证明不等式典例剖析3.(1)设ab0,cd0,则下列不等式中一定成立的是()答案:B

(2)已知ab,ef,c0.求证:f-ace-bc.证明:∵ab,c0,∴acbc,∴-ac-bc.∵fe,∴f-ace-bc.

规律总结1.利用不等式的性质判断命题真假的两种方法

(1)直接法:对于真命题,要利用不等式的相关性质证明;对于假命题,只需举出一个反例即可.

(2)特殊值法:

注意取值一定要遵循三个原则,一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性.

2.利用不等式的性质证明不等式的思路

(1)利用性质对不等式进行变形,变形要等价.

(2)寻找欲证不等式成立的已知条件,利用相应的不等式性质证明.

提醒:利用性质时要注意性质适用的前提.

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四利用不等式的性质求取值范围典例剖析4.已知1a4,2b8.试求2a+3b与a-b的取值范围.解:∵1a4,2b8,∴22a8,63b24.∴82a+3b32.∵2b8,∴-8-b-2.又1a4,∴1+(-8)a+(-b)4+(-2),即-7a-b2.故82a+3b32,-7a-b2.

互动探究

2.(变条件)若将本例条件“1a4,2b8”改为“1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3”,求2a+3b的取值范围.

规律总结同向不等式具有可加性与可乘性,但是不能相减或相除,应用时,要充分利用所给条件进行适当变形来求范围,注意变形的等价性.

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