人教A版高中同步训练数学必修第一册精品课件 第4章 指数函数与对数函数 4.4 第3课时 不同函数的增长差异.ppt

4.4对数函数第3课时不同函数的增长差异

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三种常见函数模型的增长差异比较三种函数模型的性质,填写下表.

微判断(1)当x每增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数.()(2)函数y=log2x增长的速度越来越慢.()(3)不存在一个实数m,使得当xm时,1.1x100x.()√√×解析:(1)因为一次函数的图象是一条直线,所以当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值.(2)由函数y=log2x的图象(图略)可知其增长的速度越来越慢.(3)根据指数函数和一次函数增长速度的比较可知存在一个实数m,使得当xm时,1.1x100x.

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一函数模型的增长差异的比较典例剖析1.已知函数f(x)=1.1x和g(x)=lnx+1的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数,并比较f(x)与g(x)的大小(以x1,x2为分界点);?(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2023),g(2023)的大小.

解:(1)曲线C1对应的函数为f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数为g(x)=lnx+1.当xx1时,f(x)g(x);当x1xx2时,f(x)g(x);当xx2时,f(x)g(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).(2)因为f(1)g(1),f(2)g(2),f(13)g(13),f(14)g(14),所以1x12,13x214,所以x16x2,2023x2.从题图可以看出,当x1xx2时,f(x)g(x),所以f(6)g(6).当xx2时,f(x)g(x),所以f(2023)g(2023).又g(2023)g(6),所以f(2023)g(2023)g(6)f(6).

规律总结常见的函数模型及增长特点

(1)线性函数模型:y=kx+b(k0),增长特点是直线上升,其增长速度不变.

(2)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a0,b1),增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.

(3)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m0,x0,a1),增长特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.

(4)幂型函数模型:f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0,α≠1),增长情况由a和α的取值确定.

学以致用1.函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;(2)以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较.

解:(1)曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,曲线C2对应的函数为f(x)=lgx.(2)当xx1时,g(x)f(x);当x1xx2时,f(x)g(x);当xx2时,g(x)f(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).

二函数模型的增长差异在函数图象上的体现典例剖析2.一个高为H,容量为V0的鱼缸的轴截面如图所示.现向鱼缸中匀速加水,直到注满为止.当鱼缸水深为h时,水的体积为V,则函数V=f(h)的大致图象是()答案:B

解析:由题图可知,当水深h越大时,水的体积V就越大,故函数V=f(h)单调递增.根据鱼缸的形状,下边较细,中间较粗,上边较细,所以随着水深的增加,水的体积的变化速度是先快后慢.故选B.

规律总结一般来说,函数模型的增长速度与图象的关系如下表:

学以致用2.某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年的年产量的增长速度越来越快,后3年的年产量保持不变,将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(单位:年)的函数关系用图象表示,正确的是()答案:A

三函数模型的选择问题典例剖析3.科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9000万元的投资收益目标,准备制定一个激励研发人员的奖励方案:当投资收益达到3000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金总数不低于100万元,且奖金总数不超过投资收益的20%.现有三个奖励函数模型:①y=0.03x+8;②y=0.8x+200;③y=100log20x+50.试分析这三个函数模型是否符合公司要求.

互动探究(变问法)若使用本例中符合公司要求的函数模型,要使奖金达到350万元,公司的投资收益至少要达到多少万元?解:由100log20x+50≥350,即log20x≥3,解得x≥8000,所以公司的投资收益至少要达到8000万元.

规律总