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考研数学三(二次型)模拟试卷5(题后含答案及解析)--第1页

考研数学三（二次型）模拟试卷5(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A，B为n阶可逆矩阵，则()．

A．存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵

B．存在正交矩阵Q1，Q2，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2为对角矩阵

C．存在可逆矩阵P，使得P-1(A+B)P为对角矩阵

D．存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B

正确答案：D

解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，

使得PAQ=B，选

D．知识模块：二次型

2．n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是()．

A．A无负特征值

B．A是满秩矩阵

C．A的每个特征值都是单值

D．A-1是正定矩阵

正确答案：D

解析：A正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，A不对；若A为正

定矩阵，则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零

常数，不能保证都是正数，B不对；C既不是充分条件又不是必要条件；显然D

既是充分条件又是必要条件．知识模块：二次型

3．下列说法正确的是()．

A．任一个二次型的标准形是唯一的

B．若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同

C．若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型

D．二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的

正确答案：D

解析：A不对，例如：f=x1x2，令则f=y12-y22；若令则f=y12-9y22；B不

对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到

其对应的矩阵的特征值相同；C不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能

说明其负惯性指数为0，不能保证其正惯性指数为n；选D，因为二次型的规范

形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一．知识模块：二次型

4．设A为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX与XTA-1X()．

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A．规范形与标准形都不一定相同

B．规范形相同但标准形不一定相同

C．标准形相同但规范形不一定相同

D．规范形和标准形都相同

正确答案：B

解析：因为A与A-1合同，所以XTAX与XTA-1X规范形相同，但标准形

不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选

B．知识模块：二次型

5．设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是()．

A．可逆矩阵

B．实对称矩阵

C．正定矩阵

D．正交矩阵

正确答案：B

解析：因为A与对角阵A合同，所以存在可逆矩阵P，使得PTAP=A，从

而A=(PT)-1AP-1=(P-1)T