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专题07讲:任意角的三角函数、诱导公式与恒等式
【考点专题】
1.角的概念
(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α.
(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|=eq\f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°=eq\f(π,180)rad;1rad=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°
弧长公式
弧长l=αr
扇形面积公式
S=eq\f(1,2)lr=eq\f(1,2)αr2
3.任意角的三角函数
设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),则sinα=y,cosα=x,tanα=eq\f(y,x)(x≠0).
三个三角函数的性质如下表:
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
sinα
R
+
+
-
-
cosα
R
+
-
-
+
tanα
{α|α≠kπ+eq\f(π,2),k∈Z}
+
-
+
-
4.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:eq\f(sinα,cosα)=tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)+kπ,k∈Z)).
5.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
eq\f(π,2)-α
eq\f(π,2)+α
正弦
sinα
-sinα
-sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
-cosα
cosα
-cosα
sinα
-sinα
正切
tanα
tanα
-tanα
-tanα
口诀
奇变偶不变,符号看象限
6.常见特殊角的三角函数值
n
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
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0
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2π
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-1
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-SKIPIF10
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-1
0
1
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-1
-SKIPIF10
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0
7.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;
(2)cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ;
(3)tan(α±β)=tanα±tanβ1?tanαtanβ
8.二倍角公式
(1)基本公式:
①sin2α=2sinαcosα;
②cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
③tan2α=eq\f(2tanα,1-tan2α).
(2)公式变形:
由cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α可得
降幂公式:cos2α=eq\
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