猜题05 二次函数（拔尖必刷53题14种题型专项训练）（含答案解析）.docx

第5章二次函数（拔尖必刷53题14种题型专项训练）

利用二次函数的性质判多结论问题

利用二次函数的性质比较四个字母的大小

利用二次函数的最值求字母的值或取值范围

根据新定义求二次函数最值

根据新定义求字母的值或取值范围

二次函数与函数、方程组、不等式综合

抛物线的平移、旋转、对称

二次函数综合问题-线段周长问题

二次函数综合问题-面积问题

二次函数综合问题-角度问题

二次函数综合问题-特殊三角形存在性问题

二次函数综合问题-特殊四边形存在性问题

二次函数综合问题-相似三角形存在性问题

二次函数综合问题-全等存在性问题

一．利用二次函数的性质判断多结论问题（共5小题）

1．（2023上·湖北孝感·九年级统考期中）已知抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（包含端点），顶点坐标为，有下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】主要考查二次函数图像与系数的关系、不等式，解题的关键是熟知顶点坐标以及二次函数的性质．

利用抛物线的对称轴方程得到，则可对①进行判断；利用抛物线与轴交于点得到，把代入得到，再利用得到，然后解不等式组可对②进行判断；利用当时，有最大值得到（为任意实数），则可对③进行判断；利用直线与抛物线只有一个交点可知与抛物线有两个交点，则可对④进行判断．

【详解】抛物线的顶点坐标为，

抛物线的对称性为直线，

，

，所以①正确；

抛物线与轴交于点，

，

，

抛物线与轴的交点在，之间（包含端点），

，即，

，所以②正确；

当时时，有最大值，

（为任意实数），

即，所以③正确；

抛物线的顶点坐标为，

直线与抛物线只有一个交点，

直线与抛物线有两个交点，

关于的方程有两个不相等的实数根，所以④正确．

故选：A．

2．（2023上·黑龙江大庆·九年级校联考期中）如图，二次函数的图象经过点、点、点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：

①二次函数的最小值为；

②若，则；

③若，则；

④一元二次方程的两个根为和

其中正确结论的是()

A．①②③ B．①④ C．②③④ D．②④

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；根据、两点写出抛物线的交点式化简得，再配成顶点式，即可判断①；当时，，根据二次函数的性质，即可判断②；利用二次函数的对称性及增减性即可判断③；由可知，，则可化为，，解方程即可判断④．

【详解】解：抛物线解析式化成交点式为，

即，

配成顶点式得，

当时，二次函数有最小值为，所以①正确；

当时，，

当，，所以②错误；

点的坐标为，点关于直线的对称点为，

若，则或，所以③错误；

由可知，，则可化为，

，

方程整理得：，

解得，，

所以④正确．

所以①④正确．

故选：B．

3．（2023上·云南昆明·九年级云大附中校考期中）已知二次函数的部分图象

如图所示，图象经过点．其对称轴为直线下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③若关于x的一元二次方程没有实数根．则；④满足的x的取值范围为．⑤对于任意实数m，总有；其中正确结论的个数为（????）

??

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】B

【分析】根据抛物线开口向下可得，根据抛物线的对称轴可推得，根据时，，即可得到，推得，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得，故②正确；将方程整理后，可得，利用根的判别式求解，可得，故③正确；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点，即可得到时，的取值范围，故④正确；根据当时，y有最大值，即对于任意实数m，总有，即，故⑤错误．

【详解】①∵抛物线开口向下，

∴．

∵抛物线的对称轴为直线，

∴，

由图象可得时，，

即，

而，

∴．故①错误；

②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线．

故当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，

∵，，

即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，

故，故②正确；

③整理可得，

若无实数根，则，

∵，

∴即，故③正确；

④∵函数图象经过，对称轴为直线，

∴二次函数必然经过点，

∴时，的取值范围，故④正确；

⑤由开口向下且对称轴为直线，可知当时，y有最大值，

即对于任意实数m，总有，即，故⑤错误．

综上，②③④正确，共3个，

故选：B．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；常数项决定抛物线与轴交点；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

4．（2023上·云南昆明·九年级校考期中）如图所示，已知抛物线和直线．我们规定：当取任意一个