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2023年高考数学模拟试卷
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知是双曲线的左、右焦点,若点关于双曲线渐近线的对称点满足(为坐标原点),则双曲线的渐近线方程为()
A. B. C. D.
2.已知函数(),若函数在上有唯一零点,则的值为()
A.1 B.或0 C.1或0 D.2或0
3.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合,且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为,那么该双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
4.已知定义在上的偶函数满足,且在区间上是减函数,令,则的大小关系为()
A. B.
C. D.
5.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点,点与点关于轴对称,为坐标原点,若,且,则点的轨迹方程是()
A. B.
C. D.
6.一个盒子里有4个分别标有号码为1,2,3,4的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取3次,则取得小球标号最大值是4的取法有()
A.17种 B.27种 C.37种 D.47种
7.已知三棱锥中,为的中点,平面,,,则有下列四个结论:①若为的外心,则;②若为等边三角形,则;③当时,与平面所成的角的范围为;④当时,为平面内一动点,若OM∥平面,则在内轨迹的长度为1.其中正确的个数是().
A.1 B.1 C.3 D.4
8.复数的共轭复数为()
A. B. C. D.
9.已知是函数图象上的一点,过作圆的两条切线,切点分别为,则的最小值为()
A. B. C.0 D.
10.设,是空间两条不同的直线,,是空间两个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,,,则;
②若,,,则;
③若,,,则;
④若,,,,则.其中正确的是()
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
11.已知实数集,集合,集合,则()
A. B. C. D.
12.已知实数、满足不等式组,则的最大值为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.如果复数满足,那么______(为虚数单位).
14.已知(且)有最小值,且最小值不小于1,则的取值范围为__________.
15.等腰直角三角形内有一点P,,,,,则面积为______.
16.若x,y均为正数,且,则的最小值为________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)设函数,,其中,为正实数.
(1)若的图象总在函数的图象的下方,求实数的取值范围;
(2)设,证明:对任意,都有.
18.(12分)已知函数(是自然对数的底数,).
(1)求函数的图象在处的切线方程;
(2)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围;
(3)若函数在区间上有两个极值点,且恒成立,求满足条件的的最小值(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值).
19.(12分)某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展,灯光展涉及到10000盏灯,每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为,并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长(单位:),得到下面的频数表:
亮灯时长/
频数
10
20
40
20
10
以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长.
(1)试估计的值;
(2)设表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目.
①求的数学期望和方差;
②若随机变量满足,则认为.假设当时,灯光展处于最佳灯光亮度.试由此估计,在一场灯光展中,处于最佳灯光亮度的时长(结果保留为整数).
附:
①某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商;
②若,则,,.
20.(12分)已知
(1)当时,判断函数的极值点的个数;
(2)记,若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,求证:.
21.(12分)已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若存在实数,使得不等式成立,求实数的取值范围.
22.(10分)在世界读书日期间,某地区调查组对居民阅读情况进行了调查,获得了一个容量为200的样本,其中城镇居民140人,农村居民60人.在这些居民中,经常阅读的城镇居民有100人,农村居民有30人.
(1)填写下面列联表,并判断能否有99%的把握认为经常阅读与
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