二次函数的问题.ppt

二次函数中的问题

1.二次函数中的单调性问题2.证明抽象函数的奇偶性二次函数中的单调性问题

二次函数的单调性问题，抓住对称轴及开口!1、单调增函数的定义2、单调减函数的定义3、单调性4、函数单调性的证明5、二次函数的最值问题习题解析1单调增函数的定义单调增函数的定义：在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么，就称函数y=f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y=f(x)在区间A上是递增的．2、单调减函数的定义在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么，就称函数y=f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的．3、单调性如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数.那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f（x）的单调区间．例：4、函数单调性的证明

（1）取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1x2；（2）做差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论；（4）判断：根据定义得出结论．二次函数的最值问题1、二次函数在R上的最值问题求二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)在R上的最值常用方法有：一是配方法，即化为，从而求出它的最值；二是公式法，即利用性质中的结论来确定最值．2、二次函数在闭区间的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题，由它的单调性来确定，而它的单调性又由二次函数的开口方向和对称轴位置（在区间上还是在区间左边，还是在区间右边）来决定．当开口方向和对称轴位置不确定时，则需要进行分类讨论．二次函数的最值问题，抓住对称轴与所给区间的相对位置!习题解析例1、证明函数f(x)=x3＋x在R上单调递增．例2、如果二次函数f（x）=x2－（a－1）x＋5在区间上是增函数，求f（2）的取值范围.解析：二次函数f（x）在区间上是增函数，由于其图象（抛物线）开口向上，故其对称轴或与直线重合或位于直线的左侧，于是，解之得a≤2，故f（2）≥－2×2＋11=7，即f（2）≥7．例3、讨论函数（a＞0）在x∈（－1，1）上的单调性.例4、已知二次函数f(x)，当x=2时有最大值16，它的图像截x轴所得的线段长为8，求解析式．分析：由于二次函数f(x)的最值给出，即顶点坐标给出，可设顶点式，再由待定系数法求出所要定的系数，也可由对称轴方程及图像截x轴所得的线段的长，利用f(x)=0的两根来表示．例5、定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a＋b）=f（a）·f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.返回证明抽象函数的奇偶性两个定义:对于函数f(x)定义域内的任意一个x如果都有f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数。如果都有f(-x)=f(x)f(x)为偶函数。判断函数的奇偶性的方法：一、定义法：两个步骤:（1）先求出定义域，看定义域是否关于原点对称（2）再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立。二、图像法：看图像的对称性。奇偶性小结返回**