线性代数课件.pptx

线性代数第1讲;介绍;2024/9/5;2024/9/5;2024/9/5;例如;2024/9/5;2024/9/5;2024/9/5;2024/9/5;2024/9/5;2024/9/5;例(未写出的元素都是0);例;下三角行列式等于对角线元素之积;例;1.1.2n阶行列式的性质;性质1行列式与它的转置行列式相等;性质2行列式按任一行(列)按下式展开,其值相等;例如,假设;例设;2024/9/5;2024/9/5;2024/9/5;2024/9/5;2024/9/5;2024/9/5;2024/9/5;2024/9/5;2024/9/5;2024/9/5;行列式按某k行(列)展开

在n阶行列式D=中,任意选定k行k列(1?k?n),位于这些行和列交叉处的k2个元素,按原来的顺序构成一个k阶行列式M,称为D的一个k阶子式.划去这k行k列,余下的元素按原来的顺序构成一个n-k阶行列式,在其前面冠以符号;定理(拉普拉斯定理)在n阶行列式中,任意取定k行(列)(1?k?n-1),由这k行(列)组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D.;例下式按第一行和第二行展开;例;例;计算行列式的常用方法:;例(保留a12,将第2列其余元素变为0);2024/9/5;线性代数第2讲;例1上三角行列式(ij时,aij=0);2024/9/5;2024/9/5;2024/9/5;例3;2024/9/5;例4行列式D=的元素满足aij=-aji(i,j=1,2,...,n),就称D是反对称行列式,证明奇数阶反对称行列式的值为零.

证设;2024/9/5;例5证明;例6计算n阶行列式;2024/9/5;例8证明范德蒙行列式;例如;证用数学归纳法证明.当n=2时,;按第一列展开,并分别提取公因子,得;根据归纳假设可得结论.;1.3克莱姆(Cramer)法则;定理(Cramer法则)设线性齐次方程组;其系数行列式;其中Dj是用常数项b1,b2,...,bn替换D中第j列所成的行列式,即;证先证(1.25)是方程组(1.23)的解,根据(1.26)式,;得;证解的唯一性,设c1,c2,...,cn是一组解,即;上式左端除cj的系数为D外c1,...,cn的系数全为零,右端等于Dj,因此Dcj=Dj,故;推论1若齐次线性方程组;用Cramer法则求解系数行列式不等于零的n元非齐次线性方程组,需要计算n+1个n阶行列式,它的计算工作量很大.实际上关于数字系数的线性方程组(包括系数行列式等于零及方程个数和未知量个数不相同的线性方程组)的解法,一般都采用第2章中介绍的高斯消元法.Cramer法则主要是从理论上具有重要意义,特别是它明确地揭示了方程组的解和系数之间的关系.;例1已知三次曲线y=f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3在四个点x=?1,x=?2处的值为:f(1)=f(-1)=f(2)=6,f(-2)=-6,试求其系数a0,a1,a2,a3.

解将三次曲线在4点处的值代入其方程,得到关于a0,a1,a2,a3的非齐次线性方程组;它的系数行列式为范德蒙行列式;2024/9/5;2024/9/5;所以a0=8,a1=-1,a2=-2,a3=1,即所求的三次曲线方程为

f(x)=8-x-2x2+x3.

由上述解题过程可知,过n+1个x坐标不同的点(xi,yi),i=1,2,...,n+1,可以唯一地确定一个n次曲线的方程y=a0+a1x+a2x2+...+anxn.;例2求四个平面aix+biy+ciz+di=0(i=1,2,3,4)相交于一点的充分必要条件.

解把平面方程写成

aix+biy+ciz+dit=0,

其中t=1,于是四个平面交于一点,即x,y,z,t的齐次线性方程组;有唯一的一组非零解(x0,y0,z0,1),根据齐次线性方程组有非零解的必要和充分的条件(充分性以后将证明)是系数行列式等于零,即得四平面相交于一点的充分必要条件为;线性代数第3讲;2024/9/5;在实际应用中计算机采用的解线性方程组并不用克莱姆法则，而是采用高斯消元法。

高斯消元法其实就是中学里学的加减消元法的推广，现在我们将其用在m个方程n个未知元的一般情况。

消元法的基本思想是通过消元变形把方程组化成容易求解的同解方程组。

下面举例说明。;例1解线性方程组;将第1个方程乘(-2),(-3),(-5)分别加到2,3,4个方程上,得;将第2个方程乘(-2)加到第3,4个方程上;再将第3,4方程乘(-1),(-1/3),并交换位置;由(2.2)易知