人教A版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第四章 数列 学习单元5 数学归纳法.ppt

第四章学习单元5*数学归纳法

数学归纳法是一种特殊的数学演绎证明方法,是证明与正整数n有关的数学命题的非常实用的研究工具,蕴含着丰富的数学文化和哲学思想.数学归纳法的本质,是建立一种无穷递推机制,实现从有限到无限的飞跃.数学归纳法对提升学生的逻辑推理素养有着重要作用.本学习单元内容分为两部分.第一部分的内容主要是借助具体实例,通过对证明一个数学命题的过程和多米诺骨牌全部倒下的过程的类比和分析,获得证明数学命题的方法,进而抽象为数学归纳法的原理和步骤.正确理解数学归纳法的原理,既是重点又是难点.第二部分内容的重点是用数学归纳法证明数列中的一些简单问题.具体内容结构图如下:

在此学习过程中,通过对多米诺骨牌全部倒下的过程和“证明”一个数学命题过程的类比和分析,在情境中充分体验分析、归纳、概括、数学表达、辨析等过程.以四个基本问题为学习引导:(1)为什么要应用数学归纳法?(2)数学归纳法是怎样的一种方法?(3)什么时候需要应用数学归纳法?(4)怎样正确地应用数学归纳法?数学归纳法贯穿整个学习过程.通过学习,积累从特殊到一般、猜想再证明的数学活动经验,提升数学运算、逻辑推理等素养.

学习目标1.了解数学归纳法的原理.(逻辑推理、数学抽象)2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(数学运算)

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基础落实·必备知识全过关

知识点数学归纳法的定义一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:归纳奠基→证明当n取第一个值n0

(n0∈N*)时命题成立初始值n0的值要结合题意而定,不要理所当然认为是1归纳递推→以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出“当时命题也成立”?只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.n=k+1

微思考数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?提示不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)·180°,第一个值n0=3.

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问题1在数列的学习过程中,我们已经采用归纳的方法得出了一些结论,但并没有给出严格的证明.那么,对于这类与正整数n有关的命题,怎样证明它对每一个正整数n都成立呢?问题2在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?问题3如何用数学语言描述多米诺骨牌全部倒下的条件?问题4一般地,可以如何证明一个与正整数n有关的命题?可以分为几个基本步骤?问题5数学归纳法证明的第一步归纳奠基,是否初始值n0一定等于1?问题6数学归纳法证明的第二步归纳递推,若没有用归纳假设就证明出结论,是否可行?

探究点一对数学归纳法原理的理解【例1】(1)用数学归纳法证明不等式2n(n+1)2(n∈N*)时,初始值n0应等于.?答案6解析由题意,得:当n=1时,21(1+1)2;当n=2时,22(2+1)2;当n=3时,23(3+1)2;当n=4时,24(4+1)2;当n=5时,25(5+1)2;当n=6时,26(6+1)2,所以用数学归纳法证明不等式2n(n+1)2(n∈N*)时,初始值n0应等于6.

(2)用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程如下:①当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时,对于任何n∈N*,等式都成立.上述证明,错误是.?解析本题在由n=k成立证明n=k+1成立时,应用了等比数列的求和公式,而未用上归纳假设,这与数学归纳法的要求不符,应该写为:假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k=(2k-1)+2k=2k+1-1,所以当n=k+1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*,等式都成立.未用归纳假设

规律方法数学归纳法的三个注意点(1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键:数学归纳法的实质在于递推,要正确分析式子中项数的变化,弄清式子两边的构成规律.(3)利用假设是核心:在第二步证明n=k+1时,一定要利用归纳假设.

探究点二用数学归纳法证明等式问题7如何用数学归纳法证明一个与正整数n有关的等式?

规律方法用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)首先根据待证等式的特征,明确等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项.(2)利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+