人教A版高中数学必修第二册精品课件 第8章 立体几何初步 8.6.1 直线与直线垂直.ppt

8.6.1直线与直线垂直;自主预习·新知导学;自主预习·新知导学;一、刻画两条异面直线的位置关系

1.如图,两条去往不同方向的高速公路可抽象为直线a,直线b,它们是否在同一平面内?a,b的位置关系可能是垂直吗?;2.(1)平面内两条直线相交形成4个角,其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角),它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度.

(2)我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系.

3.若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a与c的位置关系是()

A.异面 B.平行 C.垂直 D.相交

答案:C;二、异面直线所成的角(或夹角)

1.类比相交直线所成的角,异面直线是否可以转化为相交直线来刻画两条异面直线的位置关系?

提示:可以,通过平移把异面直线转化为相交直线,这样就可以刻画两条异面直线的位置关系.;2.(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a∥a,b∥b,我们把直线a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)空间两条直线所成角α的取值范围:0°≤α≤90°.

(3)当α=90°时,直线a与直线b垂直,记作a⊥b.;3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于()

A.45° B.60°

C.90° D.120°

解析:取A1B1的中点Q,连接GQ,HQ(图略),

则EF∥GQ,从而∠HGQ或其补角即为异

面直线EF与GH所成的角,易求得∠HGQ=60°.

答案:B;三、直线与直线的垂直关系

1.两直线互相垂直,一定要有交点吗?异面直线可以说互相垂直吗?

提示:不一定,可以.

2.如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这

两条异面直线互相垂直.;3.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b垂直”是“平面α和平面β相交”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案:D;合作探究·释疑解惑;探究一求异面直线所成的角;解:如图,取BD的中点G,连接EG,FG.

∵E,F分别为BC,AD的中点,;若本例中条件“AB=CD,AB⊥CD”改为“AB=CD=2,EF=”,此时CD和AB所成的角又如何求?;求两异面直线所成的角的步骤

(1)作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角;

(2)证:证明作出的角就是要求的角;

(3)计算:求角的值,常利用解三角形得出.

可用“一作二证三算”来概括.;【变式训练1】如图所示,在正方体ABCD-ABCD中,AB的中点为M,DD的中点为N,则异面直线BM和CN所成角的大小是()

?

A.90° B.60°

C.45° D.30°;解析:如图,取AA的中点E,连接BE,EN,则BE∥NC,

所以异面直线BM和CN所成的角就是直线BE与直线BM所成的角,根据△ABE≌△BBM可得∠BMB=∠AEB,

则BE⊥BM,

所以异面直线BM和CN所成的角为90°.;探究二证明异面直线垂直;证法一:如图,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,GA1,GC1,

则OG∥B1D,EF∥A1C1.

∴∠GOA1或其补角为异面直线DB1

与EF所成的角.

∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,

∴GO⊥A1C1.

∴异面直线DB1与EF所成的角为90°,

即DB1⊥EF.;证法二:如图,在原正方体的右侧补上一个相同的正方体,连接B1Q,DQ,A1C1,

?

∵EF∥A1C1,A1C1∥B1Q,∴EF∥B1Q.

于是∠DB1Q或其补角就是异面直线DB1与EF所成的角.

通过计算,易得到B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线DB1与EF所成的角为90°,即DB1⊥EF.;1.证明线线垂直的一种方法:定义法,即利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直.

2.作异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线);(2)中位线平移法;(3)补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).;【变式训练2】如图,ABCD-A1B1C1D1是正方体,求:

(1)A1C1与B1C所成的角;

(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求证:A1C1⊥EF.;(1)解:如图,连接AC,AB1.

由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AA1CC1,所以四边形ACC1A1为平行四边形,从而AC∥A1C1,所以B1C与AC所成的角就是B1C与A1C1所成的角.

由AB1=AC=B1C,知∠B1CA=60°,

即A1C1与B1C所