微积分上第四章.ppt

中值定理与导数的应用定理4.1.5[泰勒(Taylor)中值定理]证明:拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项注意:4.麦克劳林(Maclaurin)公式解代入公式,得例4.1.6由公式可知估计误差其误差常用函数的麦克劳林公式解补例解例4.1.8例4.1.9求证证例4.1.10；4.1.11，近似计算，略。Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理及Taylor定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.Taylor中值定理n=0五、小结4.2洛必塔法则如果在同一极限过程中,两个函数,都是无穷小量或都是无穷大量,那么可能存在也可能不存在.通常称这种类型的极限为未定式的极限.一.未定式型的极限定义,且满足10定理设函数和在点的某一去心邻域内有在的某一去心邻域内存在,且和则有可以补充或改变及在处的函数值,使f(x0)=g(x0)=0的极限与及在设x为x0的邻域内异于x0的任一点,利用柯西定理,在以x0为端点构成的闭区间上,处的函数值无关,所以,证明由于当时,则f(x)和g(x)就在点x0处连续**第4章中值定理与导数的应用一、应用的理论基础-----中值定理二、函数的性态4.1微分中值定理一、Rolle中值定理二、Lagrange中值定理三、Cauchy中值定理四、Taylor中值定理4.1.1费马引理和罗尔定理1.函数的极值定义4.1.1设函数注：极值是函数的局部性质，因此，函数的极大值有可能小于函数的极小值。如教材P.128图4-1。2.费马引理定理4.1.1若函数注：要条件而不是充分条件。仅是可导函数在x0取到极值的必但x=0点不是函数的极值点。例如：f(x)=x3，虽然有三、罗尔(Rolle)定理Rolle定理如果函数f(x)满足以下条件：例如,证几何解释:AB当A、B两点在同一水平线上时，注意:(1).若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立，所提的条件是充分条件；(2).条件(3)保证了最值在区间内取得。例如,又例如,不满足条件(1)不满足条件(3)例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,例4.1.2证又因为4.1.2拉格朗日(Lagrange)中值定理Lagrange定理如果函数f(x)满足条件：注意：几何解释:证分析:弦AB方程为作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.另外辅助函数F(x)也可以从定理的结论出发设得：拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论1证只需证明：推论2推论3例4.1.3证所补例证例4.1.4证由上式得补例Cauchy定理如果函数f(x)、g(x)满足条件：4.1.3柯西(Cauchy)中值定理此为Lagrange定理对两个函数的情形.几何解释:证作辅助函数例4.1.5证分析:结论可变形为（如下图）1、问题的提出4.1.4泰勒(Taylor)中值定理不足:问题:(1).精确度不高；(2).误差不能估计.分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交2.Pn和Rn的确定**