人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第2章 直线和圆的方程 2.5.1 直线与圆的位置关系 (4).ppt

第二章2.5.1直线与圆的位置关系

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学习单元5直线与圆、圆与圆的位置关系在平面几何中,我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系.前面学习了直线的方程、圆的方程,以及用方程研究两条直线的位置关系.本学习单元类比用方程研究两条直线位置关系的方法,利用直线和圆的方程,通过定量计算研究直线与圆、圆与圆的位置关系.这是本学习单元的知识明线,具体知识结构图如下图所示:

在知识明线的学习过程中,体会图形间的位置关系,既可以直观定性描述,也可以定量刻画.在解决问题的过程中,积累“适当地利用几何性质,有助于简化运算”的经验.体会坐标法解决问题的基本思路,感悟“四步曲”大观念.

学习目标1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.(直观想象、数学运算)2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.(数学抽象)

基础落实·必备知识全过关

知识点直线与圆的位置关系的判断方法直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的位置关系及判断:位置关系相交相切相离公共点个?一个零个判定方法几何法:设圆心到直线的距离dr?d=rdr?代数法:由?消元得到一元二次方程Δ0Δ=0Δ0?可消x,也可消y,都能得到一元二次方程两

名师点睛利用直线和圆的方程,通过定量计算研究直线与圆的位置关系.微思考1.如果直线与圆组成的方程组有解,从几何图形上说明了它们之间存在什么关系?若圆心到直线的距离大于半径,则从代数的角度能说明什么??2.利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系,哪种方法简单??提示从几何图形上说明直线和圆相交或相切;从代数上说明直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.提示一般情况下,几何法较为简单.

重难探究·能力素养全提升

问题1我们知道,判断两直线位置关系的方法有两种,一种是借助于几何特征斜率来比较;一种是利用交点个数来判断.类比于直线间位置关系的判断,你认为,直线与圆的位置关系可以如何判断?

探究点一判断直线与圆的位置关系问题2直线与圆的位置关系,根据初中的定性描述,可以用圆心到直线的距离与半径相比较来判断,也可以根据公共点的个数来定量判断.虽途径不同,但均能实现直线与圆位置关系的判断.两种方法有何异同?如何选择合适的方法?

【例1】已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.求当m满足以下条件时,直线与圆:(1)有两个公共点;(2)只有一个公共点;(3)没有公共点.

解(方法1)将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程,化简、整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.

规律方法直线与圆的位置关系的判定有两种方法

探究点二圆的切线方程及切线长问题3直线与圆相切,会引出哪些几何问题需要解决?如何解决?【例2】过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线.(1)求此切线的方程;(2)求切线长.

解(1)因为(4-3)2+(-3-1)2=171,所以点A在圆外.①若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k,则切线方程为y+3=k(x-4).因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为1,②若直线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.

(2)设过A点的一条切线与圆C相切于B点,切线长即|AB|.易知CB⊥AB,根据勾股定理,|AB|2=|AC|2-12=17-1=16,|AB|=4.

规律方法过一点的圆的切线方程的求法(1)点(x0,y0)在圆上,有且只有1条切线.①先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为,由点斜式可得切线方程.②如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y=y0或x=x0.(2)点(x0,y0)在圆外,有2条切线,切线长相等.①设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,得到切线方程.②当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况.提醒:已知一点求圆的切线方程时,切勿漏掉斜率不存在的情况.

探究点三直线与圆相交以及弦长有关问题问题4若直线与圆相交,可以求解哪些几何问题?如何求解?【例3】(1)过圆x2+y2=8内的点P(-1,2)作直线l交圆于A,B两点.若直线l的倾斜角为135°,则弦AB的长为.?

(2)圆心为C(2,-1),截直线y=x-1的弦长为2的圆的方程为.?(x-2)2+(y+1)2=4