复变函数课件.pptx

第一讲复数;1.复数的概念

2.代数运算

3.共轭复数

;一般,任意两个复数不能比较大小。;定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2);z1+z2=z2+z1；

z1z2=z2z1；

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；

z1(z2z3)=(z1z2)z3；

z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.;

;;1.点的表示

2.向量表示法

3.三角表示法

4.指数表示法;1.点的表示;2.向量表示法;辐角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，;当z落于一,四象限时，不变。;;引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程

（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方

程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。;x;注意.复数的各种表示法可以相互转化,以适应

不同问题的需要.;1.复数的乘积与商

2.复数的乘幂

3.复数的方根;定理1两个复数乘积的模等于它们的模相乘，

两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。;几何意义将复数z1按逆时针方向旋转一个角度

Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。;要使上式成立,必须且只需k=m+n+1.;定理2两个复数的商的模等于它们的模的商，

两个复数的商的辐角等于被除数与除

数的辐角之差。;设z=reiθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证

明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ。;问题给定复数z=rei?，求所有的满足ωn=z的

复数ω。;当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根，

而k取其它整数时，这些根又会重复出现。;;1.区域的概念

2.简单曲线（或Jordan曲线)

3.单连通域与多连通域;1.区域的概念;开集若G内的每一点都是

内点，则称G是开集。;有界区域与无界区域

若存在R0,对任意z∈D,均有

z∈G={z||z|R}，则D是有界区域；否则无界。;2.简单曲线（或Jardan曲线);重点设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b，

对于t1∈(a，b),t2∈[a,b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)，

称z(t1)为曲线C的重点。;3.单连通域与多连通域;例如|z|R（R0）是单连通的；

0≤r|z|≤R是多连通的。;第二讲复变函数与解析函数;1.复变函数的定义;;例1;;以下不再区分函数与映射（变换）。;例3;o;例5;3.反函数或逆映射;;1.函数的极限

2.运算性质

3.函数的连续性;1.函数的极限;(1)意义中的方式是任意的.

与一元实变函数相比较要求更高.;定理2;例1;3.函数的连续性;例4证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。;定理4连续函数的和、差、积、商(分母不为0)

仍为连续函数;

连续函数的复合函数仍为连续函数。;第二章解析函数;1.复变函数的导数定义

2.解析函数的概念;一.复变函数的导数;(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。;(2)求导公式与法则;③设函数f(z),g(z)均可导，则

[f(z)±g(z)]?=f?(z)±g?(z)，

[f(z)g(z)]?=f?(z)g(z)+f(z)g?(z)

;④复合函数的导数(f[g(z)])?=f?(w)g?(z)，

其中w=g(z)。;例3问：函数f(z)=x+2yi是否可导？;例4证明f(z)=zRez只在z=0处才可导。;(1)复变函数在一点处可导，要比实函数

在一点处可导要求高得多，也复杂得

多，这是因为Δz→0是在平面区域上

以任意方式趋于零的原故。;(3)可导与连续;二.解析函数的概念;例如

(1)w=z2在整个复平面处处可导，故是整个复平面

上的解析