复变函数与积分变换课件.pptx

复数与复变函数

;1.1.1复数的概念

;1.1.2复数的代数运算

;（2）乘法交换律

（3）加法结合律

（4）乘法结合律

（5）乘法对于加法的分配律

复数运算的其它结果：

（1）

（2）

（3）若，则与至少有一个为零，反之亦然.;共轭复数的运算性质：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）为实数.;例1化简.

解;例2设，求及.

解

所以;1.1.3复数的各种表示、模与辐角

;2.复数的向量表示

复数还可以用起点为原点，终点为

的向量来表示（如图1.1），与分别是在轴与轴上的投影.这样，复数与平面上的向量之间也建立了一一对应关系.

3.复数的模与辐角

复数的模如图1.1中的向量的长度称为复数的模，记作或，即

;复数的辐角设复数对应的向量为（如图1.1）,与实轴正方向所夹的角，称为复数的辐角,记作，即

并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负.

4.复数的三角表示式

称

为复数的三角表示式.

5.复数的指数表示式

称为复数的指数表示式.

;例3求和.

解

;例4求的三角表示式与指数表示式.

解

因为,所以

设

则

又因为位于第II象限，

所以,

于是;1.1.4.复数的幂与根

;例7求.

解

因为

所以

例8已知，求.

解

因为

;所以;2.复数的方根

;;例2计算

解因为

所以

即;第1章复数与复变函数

;1.2.1.复平面上的点集与区域

;开集如果点集的每一个点都是的内点，则称为开集.

闭集如果点集的余集为开集，则称为闭集.

连通集设是开集，如果对于内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于，则称开集是连通集.

区域（或开区域）连通的开集称为区???或开区域.

闭区域开区域连同它的边界一起，称为闭区域，记为.;1.2.2单连通域与多（复）连通域

;在几何直观上，简单曲线是平面上没有“打结”情形的连续曲线，即简单曲线自身是不会相交的；简单闭曲线除了没有“打结”情形之外，还必须是封闭的，例如，图1.10中的

是简单曲线，是简单闭区域，图1.11中的，不是简单曲线，但是闭曲线.;2.光滑曲线、分段光滑曲线

设曲线的方程为

若，在上可导且，连续不全为零，则称曲线为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.

3.单连通域、多连通域

设是复平面上一区域，如果在内任作一条简单闭曲线，其内部的所有点都在中，则称区域为单连通区域；否则称为多连通区域或复连通区域.;在几何直观上，单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙”的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域（如图1.12）.;第1章复数与复变函数

;1.3.1复变函数的概念

定义1设为给定的平面点集，若对于中每一个复数，按着某一确定的法则，总有确定的一个或几个复数与之对应，则称是定义在上的复变函数（复变