2024年一元二次方程的解法归纳总结.docx

一元二次方程的解法归纳总結

一元二次方程的解法是每一种中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平措施、因式分解法、配措施和公式法是教材上重点讲解的四种措施,并没有提到换元法,我們在这次归纳总結中給于详细的讲解.此外,还将简介某些特殊的一元二次方程的解法.

在上面提到的四种解一元二次方程的措施中,直接开平措施是最直接的措施,因式分解法是最简朴的措施,配措施是最基本的措施,而公式法是最万能的措施.

我們要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺乏一次项,选择用直接开平措施求解;一元二次方程缺乏常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解.

一、直接开平措施

解形如（≥0）和（≥0）的一元二次方程,用直接开平措施.

用直接开平措施解一元二次方程的一般环节:

（1）把一元二次方程化為（≥0）或（≥0）的形式;

（2）直接开平方,把方程转化為两个一元一次方程;

（3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.

注意:

（1）直接开平措施是最直接的解一元二次方程的措施,并不适合所有的一元二次方程的求解;

（2）对于一元二次方程,当時,方程无解;

（3）对于一元二次方程:

=1\*GB3①当時,一元二次方程有两个不相等的实数根;

=2\*GB3②当時,一元二次方程有两个相等的实数根;

=3\*GB3③当時,一元二次方程没有实数根.

例1.解下列方程:

（1）;（2）.

分析:观测到两个方程的特点,都可以化為（≥0）的形式,所有选择用直接开平措施求解.当一元二次方程缺乏一次项時,考虑使用直接开平措施求解.

解:（1）

∴;

（2）

∴.

例2.解下列方程:

（1）;（2）.

分析:观测到两个方程的特点,都可以化為（≥0）的形式,所有选择用直接开平措施求解.

解:（1）

∴或

∴;

（2）

∴

∴或

∴.

习題1.下列方程中,不能用直接开平措施求解的是【】

（A）（B）

（C）（D）

习題2.若,则_________.

习題3.若為方程的两根,且,则【】

（A）（B）（C）1（D）3

习題4.解下列方程:

（1）;（2）.

习題5.解下列方程:

（1）;（2）.

习題6.对于实数,我們用符号表达两数中较小的数,如.

（1）_________;

（2）若,则_________.

习題7.已知直角三角形的两边長满足,求这个直角三角形第三边的長.

（注意分类讨论第三边的長）

二、因式分解法

因式分解法解一元二次方程的一般环节是:

（1）移项把方程的右边化為0;

（2）化积将方程的左边分解為两个一次因式的乘积;

（3）转化令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;

（4）求解解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.

例1.用因式分解法解方程:.

解:

∴或

∴.

例2.用因式分解法解方程:.

解:

∴或

∴.

例3.解方程:.

解:

∴.

例4.解方程:.

解:

∴或

∴.

因式分解法解高次方程

例5.解方程:.

解:

∴或或或

∴.

例6.解方程:.

解:

∵

∴

∴或

∴.

用十字相乘法分解因式解方程

对于一元二次方程,当≥0且的值為完全平方数時,可以用十字相乘法分解因式解方程.

例7.解方程:.

分析:,其成果為完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式.

解:

∴或

∴.

例8.解方程:.

分析:,其成果為完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式.

解:

∴或

∴,.

例9.设方程的较大根為,方程的较小根為,求的值.

解:

∴或

∴

∵是该方程的较大根

∴

∴或

∴

∵是该方程的较小根

∴

∴.

习題1.方程的根是__________.

习題2.方程的根是__________.

习題3.方程的解是__________.

习題4.方程的解是__________.

习題5.假如,那么的值為【】

（A）2或（B）0或1

（C）2（D）

习題6.方程的根是__________.

习題7.已知等腰三角形的腰和底的長分别是一元二次方程的根,则该三角形的周長為__________.

习題8