人教A版高中同步训练数学必修第一册精品课件 第1章 集合与常用逻辑用语 1.5.1 全称量词与存在量词.ppt

1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词

课前·基础认知课堂·重难突破

课前·基础认知

1.全称量词与全称量词命题

2.存在量词与存在量词命题

微思考全称量词命题和存在量词命题中是否一定含有全称量词和存在量词?提示:存在量词命题一定含有存在量词,全称量词命题不一定含有全称量词.如:命题“正方形是特殊的菱形”,该命题中没有全称量词.

课堂·重难突破

一全称量词命题与存在量词命题的判断典例剖析1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.(1)凸多边形的外角和等于360°;(2)有些素数的和仍是素数;(3)存在一个菱形,它的对角线不互相垂直;(4)所有自然数的平方是正整数.

解:(1)命题可以改写为“所有凸多边形的外角和等于360°”,故为全称量词命题.(2)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题.(3)含有存在量词“存在一个”,故为存在量词命题.(4)含有全称量词“所有”,故为全称量词命题.

规律总结判定命题是全称量词命题还是存在量词命题,主要看命题中含有全称量词还是存在量词.要注意有些全称量词命题并不含有全称量词,这时我们要根据命题涉及的意义去判断.

学以致用1.在下列命题中,是全称量词命题的有,是存在量词命题的有(填序号).?①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.答案:①②③④

二全称量词命题和存在量词命题的真假判断典例剖析2.判断下列命题的真假:(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示;(2)存在一个实数x,使得等式x2+x+8=0成立;(3)对任意直角三角形的两个锐角A,B都有sinA=cosB;(4)?x∈R,x2-3x+2=0.

解:(1)假命题.如边长为1的正方形的对角线的长为,不是正有理数.(2)假命题.因为Δ=12-4×1×8=-310,所以方程无实数解.(3)真命题.根据锐角三角函数的定义可知,对任意直角三角形的两个锐角A,B都有sinA=cosB.(4)真命题.当x=2或x=1时,有x2-3x+2=0成立.

规律总结1.判断全称量词命题为真时,必须对限定的集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x,使p(x)不成立即可.

2.判断存在量词命题为真时,只要在限定的集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可,否则这一命题就是假命题.

学以致用2.有下4四个命题:①有些整数只有两个正因数;②?x∈{1,-1,0},2x+10;③?x∈N,x2=x;④偶数都可以被2整除.其中真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案:C

三根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的取值范围典例剖析3.若命题“?x∈{x|1≤x≤2},a≥x”是真命题,则a的取值范围是.?答案:a≥2解析:由已知得a≥xmax,所以a的取值范围是a≥2.

互动探究(变条件)若将本例条件中的“?”改为“?”,其他条件不变,则a的取值范围是.?答案:a≥1解析:由已知得a≥xmin,所以a的取值范围是a≥1.

规律总结求解含有全称量词或存在量词的命题中参数取值范围的方法

(1)对于全称量词命题“?x∈M,ay(或ay)”为真的问题(其中y是关于x的函数),实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求y的最大值(或最小值),即aymax(或aymin).

(2)对于存在量词命题“?x∈M,ay(或ay)”为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求y的最小值(或最大值),即aymin(或aymax).

学以致用3.已知命题“?x∈R,二次函数y=x2-x+a的图象在x轴上方”是真命题,则实数a的取值范围是.?

4.已知命题“?x∈R,使二次函数y=x2-x+a的函数值小于0”是真命题,则实数a的取值范围是.?