人教A版高中同步学考数学必修4精品课件 第一章 1.4.2 第1课时 正弦函数、余弦函数的性质(一).ppt

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质

第1课时正弦函数、余弦函数的性质(一)

一、周期函数1.由正弦函数的图象可知,正弦曲线每相隔2π个单位重复出现,这一规律的理论依据是什么?设f(x)=sinx,则sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)可以怎样表示?提示:sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z);f(x+2kπ)=f(x).2.填空:周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.3.周期函数的周期是否唯一?正弦函数的周期有哪些?是否存在最小的一个?是否存在一个最小的正的周期?提示:周期函数的周期不唯一;正弦函数的周期为2kπ(k∈Z,k≠0);不存在最小的一个;存在一个最小的正的周期2π.

4.填空:最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.在没有特殊说明的情况下,三角函数的周期均是指它的最小正周期.5.做一做:(1)若函数f(x)满足f(x+3)-f(x)=0,则函数f(x)是周期为的周期函数.?(2)若函数f(x)的最小正周期是4,则必有f(x+8)f(x)(填“=”或“≠”).?解析:(1)由已知得f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为3的周期函数.(2)由已知得f(x+8)=f(x+4)=f(x).答案:(1)3(2)=

二、正弦函数与余弦函数的周期性1.就周期性而言,对正弦函数有什么结论?对余弦函数呢?提示:正弦函数是周期函数,最小正周期是2π;余弦函数也是周期函数,最小正周期也是2π.2.填空:(1)正弦函数y=sinx是周期函数,2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.(2)余弦函数y=cosx是周期函数,2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.

4.填空:函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期:(1)函数y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω0)的最小(2)函数y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω0)的最小

答案:(1)2π(2)4π

三、正弦函数与余弦函数的奇偶性及对称性1.根据诱导公式有sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,这反映了正弦函数和余弦函数的什么性质?提示:奇偶性.2.填空:(1)正弦函数y=sinx是奇函数,其图象关于原点对称;(2)余弦函数y=cosx是偶函数,其图象关于y轴对称.

3.做一做:(1)函数y=sin2x的奇偶性为()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数(2)函数y=1+cosx的图象()A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线x=对称

解析:(1)令y=f(x)=sin2x,则f(-x)=sin2(-x)=-sin2x,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)设y=f(x)=1+cosx.∵f(-x)=f(x),∴f(x)=1+cosx为偶函数,故其图象关于y轴对称.答案:(1)A(2)B

自主检测判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.答案:(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√(7)×

探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一求三角函数的周期例1求下列三角函数的周期:(1)y=3sinx,x∈R;(2)y=cos2x,x∈R;(4)y=|cosx|,x∈R.分析:对于(1)(2)(3),可用公式法求周期;对于(4),可借助函数图象观察求得周期.

探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)3sin(x+2π)=3sinx,由周期函数的定义知,y=3sinx的周期为2π.(2)cos2(x+π)=cos(2x+2π)=cos2x,由周期函数的定义知,y=cos2x的周期为π.(4)y=|cosx|的图象如图(实线部分)所示,由图象可知,y=|cosx|的周期为π.

探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟求函数最小正周期的常用方法求三角函数的周期,一般有两种方法:(1)公式法,即先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,再利用T=求得;(2)图象法,利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到最小正周期.

探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1求下列函数的最小正周期:(2)因为函数y=cosx为偶函数,所以y=cos|x|=cosx,从而函数y=cos|x|与y=c