新高考数学二轮复习讲义专题03 不等式（原卷版）.doc

专题03讲：不等式

【考点专题】

1．两个实数比较大小的方法

(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b0?ab,a－b＝0?a＝b,a－b0?ab))(a，b∈R)

(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)1?ab,\f(a,b)＝1?a＝b,\f(a,b)1?ab))(a∈R，b0)

2．不等式的基本性质

性质

性质内容

特别提醒

对称性

ab?ba

?

传递性

ab，bc?ac

?

可加性

ab?a＋cb＋c

?

可乘性

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab,c0))?acbc

注意c的符号

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab,c0))?acbc

同向可加性

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab,cd))?a＋cb＋d

?

同向同正可乘性

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab0,cd0))?acbd

?

可乘方性

ab0?anbn(n∈N，n≥1)

a，b同为正数

可开方性

ab0?eq\r(n,a)eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)

a，b同为正数

3．一元二次不等式的解集

判别式Δ＝b2－4ac

Δ0

Δ＝0

Δ0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象

方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根

有两相异实根x1，x2

(x1x2)

有两相等实根

x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有实数根

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|xx1或xx2}

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))

{x|x∈R}

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|x1xx2}

?

?

4．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)

(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．

5．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．

(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．

(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

6．用基本不等式求最值

用基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)求最值应注意：一正二定三相等.

(1)a，b是正数；

(2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2eq\r(P)；

②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值eq\f(1,4)S2.

(3)讨论等号成立的条件是否满足．

【方法技巧】

一、比较大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．

(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．

(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．

二、判断不等式的常用方法

(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．

(2)利用特殊值法排除错误答案．

(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较．

三、利用基本不等式求最值

(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．

(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．

(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．

【核心题型】

题型一：比较两个数（式）的大小

1．已知SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10，则SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10的大小关系为（????）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10 C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

2．已知：SKIPIF10，则3，SKIP