数值计算方法课件.pptx

第1章插值;定义：为定义在区间上的函数，为区间上n+1个互不

相同的点，为给定的某一函数类。求上的函数满足;有解;存在唯一定理;对应于;多项式插值的Lagrange型;线性插值;二次插值;例：;§1LagrangePolynomial;n=2;误差;有n+2个零点;事后误差估计;近似;Lagrange插值的缺点;Newton型多项式插值;而且有：;这样：;称为k阶差商;由归纳：;此处用到差商的一个性质：（用归纳法易证）

对称性：;Newton插值构造;例子;一些性质;误差;差商性质总结;1.4Hermite插值;§3HermiteInterpolation;仿照Lagrange插值的做法，首先确定多项式插值空间的维数，;;整个构造步骤如下：;误差分析;二重密切Hermite插值误差;例：在[?5,5]上考察的Ln(x)。取;等距高次插值，数值稳定性差，本身是病态的。;分段线性插值;误差;收敛，可惜只一阶精度，不够光滑。

类似，可以作二重密切Hermite插值;三次样条插值;每个小区间不高于3次，;m关系式;由;;两个边界条件;有;M关系式;积分2次;计算过程如下;第二章数值微分和数值积分;数值微分;由Taylor展开;由Taylor展开;由Taylor展开;;f(x)=exp(x);插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的性质。因此，可以用插值函数的导数近似为原函数的导数;给定点列;Taylor展开分析，可以知道，它们都是;数值积分;代数精度;用插值函数的积分，作为数值积分;Vandermonde行列式

;所以，m=n时存在唯一，且至少n阶代数精度。与节点的选取有关。;一点数值积分;Newton-Cote’s积分;设节点步长;N＝1时;N＝2时;1、梯形公式;2、Simpson公式;一般的有;复化积分;;由均值定理知;;由均值定理知;定义;3、积分的自适应计算;①先看看事后误差估计（不同的误差表达式，事后误差估计式是不同的）;②自适应计算;;4、Romberg积分;记;有如下的Euler-Maclaurin定理;重积分的计算;做等距节点，x轴，y轴分别有：;系数，在积分区域的四个角点为1/4，4个边界为1/2，内部节点为1;类似前面有：;误差;Gauss型积分公式;例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，则有4个未知量

可以列出4个方程：（以f(x)在[-1,1]为例）;n个积分点的数值积分公式，最高2n－1阶;一般性，考虑??分：;利用Schmidt正交化过程，;以n阶正交多项式的n个零点为积分点的数值积分公式有2n－1阶的代数精度;(2)求出pn(x)的n个零点x1,x2,…xn即为Gsuss点.;解按Schemite正交化过程作出正交多项式:;故两点Gauss公式为;区间[-1,1]上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式,称为Gauss-Legendre求积公式,其Gauss点为Legendre多项式的零点.;n;?Gauss公式的余项：;A：Hermite多项式！;区间[0,??)上权函数W(x)=e-x的Gauss型求积公式,称为Gauss-Laguerre求积公式,其Gauss点为Laguerre多项式的零点.;n;(3)Gauss-Hermite求积公式;第3章曲线拟合的最小二乘法;有时候，问题本身不要求构造的函数过所有的点。如：5个风景点，要修一条公路S使得S为直线，且到所有风景点的距离和最小。;定义1：向量范数;常见的范数有：;定义3：函数f的离散范数为;f(x)为定义在区间[a,b]上的函数，为区间上n+1个互不相同

的点，为给定的某一函数类。求上的函数g(x)满足

f(x)和g(x)的距离最小;下面我们来看看最小二乘问题：;由于它关于系数;写成矩阵形式有：;①;;由;求解一个矛盾方程组，计算的是在均方误差;第4章非线性方程求根;所以，只在某个区域内可能解存在唯一，而且经常很简单的形式得不到精确解：;4.1对分法;While(|a-b|eps)

x=(a+b)/2

f(x)

若(|f(x)|eps)x为解

若f(x)*f(b)0修正区间为[x,b]

若f(a)*f(x)0修正区间为[a,x]

Endwhile;4.2迭代法;迭代法的基本步骤如下：;;若满足：;①存在唯一性;③误差估计;构造满