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大一高数知识点及例题--第1页

大一高数知识点及例题

一、导数与微分

1.导数的定义

导数表示函数在某一点的变化率，可以通过极限的方法来定义。

如果函数f(x)在点x处的导数存在，称其为可导。

导数的定义公式为：f(x)=lim△x→0(f(x+△x)-f(x))/△x

2.导数的基本运算法则

导数的基本运算法则有：

-常数法则：导数的常数倍仍为导数的常数倍。

-和差法则：导数的和（差）等于各函数的导数的和（差）。

-乘法法则：导数的积等于原函数的导数乘以另一函数再加上

原函数乘以另一函数的导数。

-商法则：导数的商等于分子函数的导数乘以分母函数，减去

分子函数乘以分母函数的导数再除以分母函数的平方。

3.微分

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微分表示函数在某一点的线性近似，即函数在该点的切线。微

分的计算公式为：dy=f(x)dx

例题：

1.计算函数f(x)=2x^3-5x^2+3x-7在x=2处的导数。

解：先求f(x)，然后代入x=2即可计算得出导数值。

2.已知函数f(x)=3x^2+4x+2，求f(x)的微分。

解：根据微分的计算公式，代入f(x)即可求得微分值。

二、不定积分与定积分

1.不定积分

不定积分是对函数的原函数进行求解，表示函数的积分形式。

常用的不定积分公式有：

-幂函数的不定积分：∫(x^n)dx=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中C

为常数。

-三角函数的不定积分：∫sin(x)dx=-cos(x)+C，∫cos(x)dx=

sin(x)+C。

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2.定积分

定积分是对函数在一定区间上的面积进行求解，表示函数的累

积效应。定积分的计算方法有：

-函数分段法：将函数在不同区间上的积分分别计算，然后求

和得到整个区间上的定积分值。

-牛顿-莱布尼茨公式：若函数F(x)是函数f(x)在[a,b]区间上的

一个原函数，则∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)。

例题：

1.计算不定积分∫(2x^3-3x^2+4x)dx。

解：根据不定积分的公式，分别计算出每一项的积分，然后求

和得到最终的不定积分。

2.计算定积分∫(0,3)(x^2+2x+1)dx。

解：根据定积分的计算方法，先求出被积函数在区间上的原函

数，然后代入上限和下限计算得出定积分值。

三、级数

1.级数的概念

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级数是由无穷多项相加所得到的和，表示为∑(n=1)∞an。其中

an为级数的通项。

2.收敛级数与发散级数

-若级数的部分和有极限，则称该级数是收敛的。

-若级数的部分和无极限，则称该级数是发散的。

3.常用级数

-几何级数：∑(n=0)∞(q^n)=1/(1-q)，其中|q|1。

-调和级数：∑(n=1)∞(1/n)是发散的。

-幂级数：级数的通项是x的幂次的函数。

例题：

1.讨论级数∑(n=1)∞(1/2