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2023-2024学年甘肃省天水市秦州区天水一中秋高三(下)期末测试卷数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A,B两点,则的最小值是
A.10 B.9 C.8 D.7
2.如图,在等腰梯形中,,,,为的中点,将与分别沿、向上折起,使、重合为点,则三棱锥的外接球的体积是()
A. B.
C. D.
3.已知,是椭圆与双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,若,则的最小值为()
A. B. C.8 D.6
4.已知,是函数图像上不同的两点,若曲线在点,处的切线重合,则实数的最小值是()
A. B. C. D.1
5.某工厂只生产口罩、抽纸和棉签,如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图(例如:年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、),根据该图,以下结论一定正确的是()
A.年该工厂的棉签产量最少
B.这三年中每年抽纸的产量相差不明显
C.三年累计下来产量最多的是口罩
D.口罩的产量逐年增加
6.已知函数是定义在上的偶函数,且在上单调递增,则()
A. B.
C. D.
7.如图,已知平面,,、是直线上的两点,、是平面内的两点,且,,,,.是平面上的一动点,且直线,与平面所成角相等,则二面角的余弦值的最小值是()
A. B. C. D.
8.2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中,甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示(以十位数字为茎,个位数字为叶).若甲队得分的中位数是86,乙队得分的平均数是88,则()
A.170 B.10 C.172 D.12
9.如图,在三棱锥中,平面,,现从该三棱锥的个表面中任选个,则选取的个表面互相垂直的概率为()
A. B. C. D.
10.已知直线过圆的圆心,则的最小值为()
A.1 B.2 C.3 D.4
11.在关于的不等式中,“”是“恒成立”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12.已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知在△ABC中,(2sin32°,2cos32°),(cos77°,﹣cos13°),则?_____,△ABC的面积为_____.
14.已知,,,则的最小值是__.
15.已知双曲线的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率为_______.
16.展开式中的系数为_______________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知,.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)的三个内角、、所对边分别为、、,若且,求面积的取值范围.
18.(12分)在等比数列中,已知,.设数列的前n项和为,且,(,).
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:数列是等差数列;
(3)是否存在等差数列,使得对任意,都有?若存在,求出所有符合题意的等差数列;若不存在,请说明理由.
19.(12分)已知函数,其中为实常数.
(1)若存在,使得在区间内单调递减,求的取值范围;
(2)当时,设直线与函数的图象相交于不同的两点,,证明:.
20.(12分)设抛物线的焦点为,准线为,为抛物线过焦点的弦,已知以为直径的圆与相切于点.
(1)求的值及圆的方程;
(2)设为上任意一点,过点作的切线,切点为,证明:.
21.(12分)已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若对任意恒成立,求的取值范围.
22.(10分)已知数列,其前项和为,满足,,其中,,,.
⑴若,,(),求证:数列是等比数列;
⑵若数列是等比数列,求,的值;
⑶若,且,求证:数列是等差数列.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据抛物线中过焦点的两段线段关系,可得;再由基本不等式可求得的最小值.
【详解】
由抛物线标准方程可知p=2
因为直线l过抛物线的焦点,由过抛物线焦点的弦的性质可知
所以
因为为线段长度,都大于0,由基本不等式可知
,此时
所以选B
【点睛】
本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用,基本不等式的用法,属于
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