8.1 走近数学建模.DOCXVIP

§1走近数学建模

【必威体育精装版课标】在现实问题中，能利用数学建模活动，解决问题．

新知初探·自主学习

教材要点

要点一笔画定理

一个由点和线段组成的图形能一笔画完，必须符合以下两个条件：

(1)图形是连在一起的，即是连通图形；

(2)图形中的奇点个数是0或2.

状元随笔(1)可以一笔画成的图形，与偶点个数无关，与奇点个数有关．也就是说，凡是图形中没有奇点的(奇点个数为0)，可选任一个点为起点，且一笔画后可以回到出发点．

(2)若奇点个数为2，可选其中一个奇点为起点，而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以回到出发点．

(3)凡是图形中有2个以上奇点的，不能完成一笔画．

(4)含有2n(n0)个奇点的图形，需要n笔画成．

基础自测

1.完成下表

奇点个数

偶点个数

能否一笔画出

________

________

________

________

________

________

________

________

________

2.图中的线段代表一条条小路，有A，B两只蚂蚁，想一想，能够不重复爬遍小路的是A蚂蚁还是B蚂蚁？

课堂探究·素养提升

题型1一笔画定理及应用——自主完成

1.一个居民小区平面如图，邮递员能否从东、南、西、北四个入口中的任何一个口进入，不重复而走遍大街小巷呢？

2.甲、乙两个快递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局(C点)．如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？

方法归纳

(1)熟悉一笔画定理．

(2)一笔画定理中，若没有奇点，任意一点都可以同时作为起点和终点，若有2个奇点，一个为起点，另一个一定是终点．

题型2与图有关的模型——师生共研

例1与哥尼斯堡七桥问题同样著名的是十二面体游戏(或“周游世界”)．图1表示一个正多面体．它的表面由12个正五边形所构成，称为正十二面体．若把它的顶点看作是一个图的顶点，则我们可以用图2中的图来表示它．设想图的20个顶点代表20个城市，用十二面体的棱代表城市间的道路，那么你能不能游遍每个城市一次而且仅一次，并最终回到出发城市？

(1)找出“周游世界”的一条线路；

(2)给定图G，若存在一条路线经过图G的每个顶点一次且仅一次，这条路称作哈密尔顿路．若存在一条闭合路径过图G的每个顶点一次且仅一次，这条路被称作哈密尔顿回路．试判断图3和图4中是否存在哈密尔顿路与哈密尔顿回路．如果存在，请找出它们；如果不存在，请说明理由．

方法归纳

哥尼斯堡七桥问题和十二面体游戏都是利用图模型的例子，把“位置”抽象成“顶点”，把“路线”抽象成“顶点的连线”，进而利用图的性质加以解决．这两个经典问题在图论这一数学分支中有详细的阐述，本节主要通过它们来介绍这种思想方法．

跟踪训练1国际象棋中马的行走方式为“日”字形的对角线，如图1中虚线所示．问能否以一马的跳步完全覆盖图2的“棋盘”，使接触每个方格恰一次？(允许从任一方格出发)

题型3利用比例关系建模——师生共研

例2生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．研究表明，消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比；并且根据生物学常识知道，动物的体重与体积成正比．血流量Q是单位时间流过的血量，脉搏率f是单位时间心跳的次数；还有一些生物学假设，例如，心脏每次收缩挤压出来的血量q与心脏大小成正比，动物心脏的大小与这个动物体积的大小成正比．

下表给出一些动物体重与脉搏率对应的数据

表一些动物的体重和脉搏率

动物名

体重/g

脉搏率/(心跳次数·min－1)

鼠

25

670

大鼠

200

420

豚鼠

300

300

兔

2000

205

小狗

5000

120

大狗

30000

85

羊

50000

70

马

450000

38

回答下面的问题：

(1)请根据生物学常识，给出血流量与体重之间关系的数学模型；

(2)从表可以看出，体重越轻的动物脉搏率越高．请根据上面所提供的数据寻求数量之间的比例关系，建立脉搏率与体重关系的数学模型．

状元随笔本例利用变量之间的比例关系进行推导．建立了血流量与体重关系、脉搏率与体重关系的数学模型，有些是题目给出的，如消耗能量E与通过心脏的血流量Q成正比，还有的是我们的假设，如表面积S大约与体积V的23次方成正比．实际问题中变量之间的关系是复杂的．需要我们根据常识作出

跟踪训练2一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法．假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据：(胸围指鱼身的最大周长)

身长(cm)

36.8

31.8

43.8

36.8

32.1

45.1

35.9

32.1

重量(g)