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简谐运动的六种图象

北京顺义区杨镇第⼀中学范福瑛

简谐运动在时间和空间上具有运动的期性，本⽂以⽔平⽅向弹簧振⼦的简谐运动为情境，⽤图象法描述其位移、速度、加速

度及能量随时间和空间变化的规律，从不同⾓度认识简谐运动的特征．

运动情境：如图1，弹簧振⼦在光滑的⽔平⾯B、C之间做简谐运动，振动期为T，振幅为A，弹簧的劲度系数为K。

以振⼦经过平衡位置O向右运动的时刻为计时起点和初始位置，取向右为正⽅向。分析弹簧振⼦运动的位移、速度、加速度、

动能、弹性势能随时间或位置变化的关系图象。

1.位移-时间关系式，图象是正弦曲线，如图2

2．速度-时间关系式，图象是余弦曲线，如图3

3．加速度-时间关系式，图象是正弦曲线，如图4

4.加速度-位移关系式，图象是直线，如图5

5．速度-位移关系式，图象是椭圆，如图6

，

整理化简得

6．能量-位移关系

弹簧和振⼦组成的系统能量（机械能）守恒，

总能量不随位移变化，如图7直线c

弹性势能，图象是抛物线的⼀部分，如图7曲线b

振⼦动能，图象是开⼝向下的抛物线的⼀部分，如图7曲线a

图象是数形结合的产物，以上根据简谐运动的位移、速度、加速度、动能、弹性势能与时间或位移之间的关系式，得到对应的

图象，从不同⾓度直观、全⾯显⽰了简谐运动的规律，同时体现了数与形的和谐完美统⼀。

2011-12-20⼈教⽹

【基础知识精讲】

1.振动图像

简谐运动的位移——时间图像叫做振动图像，也叫振动曲线.

(1)物理意义：简谐运动的图像表⽰运动物体的位移随时间变化的规律，⽽不是运动质点的运动轨迹.

(2)特点：只有简谐运动的图像才是正弦(或余弦)曲线.

2.振动图像的作图⽅法

⽤横轴表⽰时间，纵轴表⽰位移，根据实际数据定出坐标的单位及单位长度，根据振动质点各个时刻的位移⼤⼩和⽅向指出⼀

系列的点，再⽤平滑的曲线连接这些点，就可得到期性变化的正弦(或余弦)曲线.

3.振动图像的运⽤

(1)可直观地读出振幅A、期T以及各时刻的位移x.

(2)判断任⼀时刻振动物体的速度⽅向和加速度⽅向

(3)判定某段时间内位移、回复⼒、加速度、速度、动能、势能的变化情况.

【重点难点解析】

本节重点是理解振动图像的物理意义，难点是根据图像分析物体的运动情况.

⼀切复杂的振动都不是简谐运动.但它们都可以看做是若⼲个振幅和频率不同的简谐运动的合运动.

所有简谐运动图像都是正弦或余弦曲线，余弦曲线是计时起点从最⼤位移开始，正弦曲

线是计时起点从平衡位置开始，即⼆者计时起点相差.我们要通过振动图像熟知质点做简谐运动的全过程中，各物理量⼤⼩、⽅

向变化规律.

例1⼀质点作简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如下图所⽰，由图可知，在t=4S时，质点的()

A.速度为正最⼤值，加速度为零

B.速度为负最⼤值，加速度为零

C.速度为零，加速度为正最⼤值

D.速度为零，加速度为负最⼤值

解析：(1)根据简谐运动特例弹簧振⼦在⼀次全振动过程中的位移、回复⼒、速度、加速度的变化求解.由图线可知，t=4s时，振

动质点运动到正最⼤位移处，故质点速度为零，可排除A、B选项.质点运动到正最⼤位移处时，回复⼒最⼤，且⽅向与位移相

反，故加速度为负最⼤值，故选项D正确.

(2)利⽤图线斜率求解.该图线为位移、时间图像，其曲线上各点切线的斜率表⽰速度⽮量.在t=4s时，曲线上该点切线的斜率为

零，故该点速度⼤⼩为零，可排除A、B项.由简谐

运动的动⼒学⽅程可得a=-x,当位移最⼤时，加速度最⼤，且⽅向与位移⽅向相反，故选项D正确.

说明本题主要考查简谐运动过程中的位移，回复⼒，速度和加速度的变化情况.运⽤斜率求解的意义可进⼀步推得质点在任意瞬

间的速度⼤⼩，⽅向.t=1s、3s时质点在平衡位置，曲线此时斜率最⼤，速度最⼤，但1s时斜率为负，说明质点正通过平衡位置

向负⽅向运动，3s时斜率为正，表过质点通过平衡向正⽅向运动.

例2如下图所⽰是某弹簧振⼦的振动图像，试由图像判断下列说法中哪些是正确的.()

A.振幅为3m，期为s

B.4s末振⼦速度为负，加速度为零

C.第14s末振⼦加速度为正，速度最⼤

D.4s末和s末时振⼦的速度相同

解析：由图像可知振幅A=3cm，期T=s，故选项A错.

4s末图线恰与横轴相交，位移为零，则加速度为零.过这⼀点作图线的切线，切线与横轴的夹⾓⼤于90°(或根据下⼀时刻位移

为负)，所以振⼦的速度为负.故选项B正确.

根据振动图像的期性，可推知第14s末质点处于负的最⼤位移处(也可以把图线按原来的形状向后延伸⾄第14s末)，因此质点