2.3.2 函数的最大(小)值.docxVIP

第2课时函数的最大(小)值

新知初探·自主学习

教材要点

要点函数最大(小)值

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：

(1)?x∈D，都有f(x)≤(≥)M；

(2)?x∈D，使得f(x)＝M.

那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大(小)值．

状元随笔最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.

基础自测

1.判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数f(x)≤1恒成立，则f(x)的最大值是1.()

(2)函数y＝f(x)的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数y＝f(x)的最小值对应该函数图象最低点的纵坐标．()

(3)对于一个函数，函数的值域是确定的，但函数的最值不一定存在．()

(4)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最小值f(b)．()

2．函数f(x)＝1x在[1，＋∞)上(

A．有最大值无最小值

B．有最小值无最大值

C．有最大值也有最小值

D．无最大值也无最小值

3．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分别为()

A．3，5B．－3，5C．1，5D．－5，3

4．函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________．

课堂探究·素养提升

题型1利用图象求函数的最值——自主完成

1．已知函数f(x)＝－|x－1|＋2，则f(x)的最大值、最小值分别为()

A．2，无最小值B．无最大值，2

C．2，1D．2，0

2．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值，设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．

状元随笔根据min{a，b}可得到f(x)为分段函数，画图象可求．

方法归纳

图象法求最值的一般步骤

题型2利用单调性求函数的最值——师生共研

例1已知函数f(x)＝2x-1(x∈[2，6])

状元随笔由函数f(x)＝2x-1(x∈[2，6])的图象(如图)可知，函数f(x)＝2x-1在区间[2，6]上单调递减．所以，函数f(x)＝2x-1在区间[2

方法归纳

1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤

(1)判断函数的单调性．

(2)利用单调性求出最大(小)值．

2．函数的最大(小)值与单调性的关系

(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．

(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．

跟踪训练1已知函数f(x)＝32x-1，求函数f(x)在[1，5]

题型3二次函数在闭区间上的最值——微点探究

微点1定轴定区间的二次函数的最值

例2已知函数f(x)＝－x2＋2x＋4，则当x∈[0，3]时，f(x)的最大值为()

A．4B．1C．3D．5

状元随笔当二次函数图象开口向上时，自变量距离对称轴越远，对应的函数值越大；当图象开口向下时，则相反．

微点2“轴动区间定”型的二次函数的最值

例3求函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2，4]上的最小值．

状元随笔若所给区间确定，但对称轴位置是变化的，则必须进行分类讨论，分类标准为对称轴与给定区间的关系．

微点3“轴定区间动”型的二次函数最值

例4求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t).

状元随笔解答此类题目，画图是必不可少的，最好画出轴在区间左侧、轴在区间上、轴在区间右侧等情况，必要时还要画出轴在区间中点的左侧和右侧两种情况．

跟踪训练2

(1)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋4，则当x∈[－2，2]时，f(x)的最小值为()

A．－4B．1C．4D．5

(2)已知二次函数f(x)＝－x2＋2ax－a在区间[0，1]上有最大值2，则实数a的值为________．

题型4实际应用中的最值问题——师生共研

例5一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N＋)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)

(1)求y(万元)与x(件)的函数