人教A版高中数学选择性必修第三册精品课件 第7章 随机变量及其分布 7.3.2 离散型随机变量的方差.ppt

7.3.2离散型随机变量的方差第七章

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑

自主预习新知导学

离散型随机变量的方差1.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为X和Y,X和Y的分布列如下表所示.(1)试求E(X),E(Y);(2)能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低?(3)试想用什么指标衡量甲、乙两名工人技术水平的高低?

(2)不能,因为E(X)=E(Y).(3)方差.

2.(1)设离散型随机变量X的分布列如下表所示.Xx1x2…xnPp1p2…pn考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xn-E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度.我们称

(2)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.(3)一般地,可以证明下面的结论成立:D(aX+b)=a2D(X).

3.(1)已知随机变量X的分布列为则D(X)等于()A.0.7 B.0.61C.-0.3 D.0(2)若D(Y)=3,则D(2Y-1)=.?解析:(1)E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,D(X)=(-1+0.3)2×0.5+(0+0.3)2×0.3+(1+0.3)2×0.2=0.61.(2)D(2Y-1)=4D(Y)=4×3=12.答案:(1)B(2)12X-101P0.50.30.2

合作探究释疑解惑

探究一求离散型随机变量的方差、标准差【例1】已知离散型随机变量X1的分布列为离散型随机变量X2的分布列为求这两个随机变量的均值、方差与标准差.

求离散型随机变量X的方差的步骤:(1)理解X的意义,写出X的所有可能取值;(2)求X取各个值的概率,写出分布列;(3)根据分布列,求出均值E(X);(4)根据公式计算方差.

【变式训练1】已知随机变量X的分布列为

答案:C

探究二离散型随机变量的方差公式及性质【例2】已知随机变量X的分布列为(1)求方差及标准差;(2)若Y=2X+1,求D(Y).

本例条件不变,将第(2)问改为“若Y=2X-E(X),求D(Y)”,如何求解?解:∵Y=2X-E(X),∴D(Y)=D(2X-E(X))=22D(X)=4×384=1536.

与离散型随机变量方差性质有关问题的解题思路对于变量间存在关系的方差,在求解过程中应注意方差性质的应用,如D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数),这样处理避免了求随机变量Y=aX+b的分布列,避免了繁杂的计算,简化了计算过程.

【变式训练2】已知随机变量X的分布列为

探究三方差的实际应用【例3】已知甲、乙两名射击运动员在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X,Y,甲、乙两人在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求X,Y的分布列;(2)求X,Y的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人参加某项射击比赛.

解:(1)依据题意,知0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,∴乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.∴X,Y的分布列分别为X10987P0.50.30.10.1Y10987P0.30.30.20.2

(2)根据(1)中X,Y的分布列,可得E(X)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,E(Y)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,D(X)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,D(Y)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.由E(X)E(Y),说明甲平均射中的环数比乙大.由D(X)D(Y),说明甲射中的环数比乙集中,比较稳定.故甲的射击技术较好,应选拔甲参加某项射击比赛.

利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤(1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.(2)在均值相等的情况下计算方差.方差可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了离散型随机变量取值的集中与离散程度.(3)下结论.依据均值、方差