5.1.2 利用二分法求方程的近似解.DOCXVIP

1．2利用二分法求方程的近似解

新知初探·自主学习

教材要点

要点二分法

对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，________，则每次取区间的________，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．

状元随笔(1)理解二分法的含义时要注意两点

①二分法是求函数零点近似值的一种方法，根据题目要求的精度，只需进行有限次运算即可．

②它的根据是根的存在定理．

(2)二分法求函数零点的两个关键点

①初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小．

②进行精度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．

注意：并不是所有函数的零点都能用二分法求解，只有函数y＝f(x)的图象在零点附近是连续的且在该零点左右函数值异号才可以用二分法求解．

(3)用二分法求函数零点有根区间的原则

①每一次取中点后，若中点函数值为零，则这个中点就是方程的解．

②若中点函数值不等于零，则下一个有根区间是区间端点函数值为异号的区间．

基础自测

1.判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．()

(2)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用．()

(3)用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间．()

(4)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．()

2．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是()

3．[多选题]若函数f(x)唯一的零点在区间(1，3)，(1，4)，(1，5)上，那么下列命题中正确的是()

A．函数f(x)在(1，2)或[2，3)上有零点

B．函数f(x)在(3，5)上无零点

C．函数f(x)在(2，5)上有零点

D．函数f(x)在(2，4)上不一定有零点

4．已知函数y＝f(x)在区间(2，4)上连续，验证f(2)·f(4)＜0，取区间(2，4)的中点x1＝2+42＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点所在的区间为

课堂探究·素养提升

题型1二分法概念的理解——自主完成

1.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()

2．[多选题]下列函数中，能用二分法求函数零点的有()

A．f(x)＝3x－1B．f(x)＝x2－2x＋1

C．f(x)＝log4xD．f(x)＝ex－2

3．用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1，3]上的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．

方法归纳

二分法的适用条件

判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．

题型2用二分法求方程的近似解——师生共研

例1用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]上的一个零点(精确度0.01)．

状元随笔方程x3－x－1＝0的正解对应函数f(x)＝x3－x－1的图象与x轴正半轴交点的横坐标，确定出解的初始区间，利用二分法求出近似解．

方法归纳

(1)用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则

①需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．

②取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．

(2)二分法求函数零点步骤的记忆口诀

定区间，找中点，中值计算两边看．

同号丢，异号算，零点落在异号间．

重复做，何时止，精确度来把关口．

跟踪训练1利用计算器求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度0.1)．

状元随笔本题用求根公式可以求得x1＝1＋2，x2＝1－2，取精确到0.1的近似值是x1≈2.4，x2≈－0.4.这与用二分法所得结果相同．

题型3二分法的实际应用——师生共研

例2在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？

如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？

方法归纳

现实生活中的线路断路、地下管道的堵塞、水管的泄漏等故障我们也可以采用二分法进行排查，即采用中点查找法．竞猜物体问题或将人员分配到不同的岗位来共同完成任务，需要把有限的资金分配到不同生产企业，如何使时间最短、利润最高，这都需要用