1.3.2.2 基本不等式的应用.docxVIP

第2课时基本不等式的应用

新知初探·自主学习

教材要点

要点基本不等式与最值

当x，y均为正数时，下面命题均成立：

(1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得____________；

(2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得____________．

状元随笔利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等．

①一正：各项必须为正．

②二定：各项之和或各项之积为定值．

③三相等：必须验证取等号时条件是否具备．

教材答疑

[教材3.2思考交流]

设矩形的长为xcm，宽为ycm，则xy＝16cm2，所以周长2(x＋y)≥4xy＝16.当且仅当x＝y＝4cm时，周长最小，即边长为4cm的正方形的周长最小．

基础自测

1.判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数y＝x＋1x的最小值为2.(

(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为22.()

(3)当x1时，函数f(x)＝x＋1x-1≥2xx-1，所以函数f(x)的最小值为2xx-1.

(4)y＝x＋1x的值域为[2，＋∞)．(

2．若a1，则a＋1a-1的最小值是(

A．2B．aC．2aa-1D

3．若a0，b0，a＋2b＝5，则ab的最大值为()

A．25B．252C．254D

4．已知x，y都是正数．

(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________．

(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．

课堂探究·素养提升

题型1利用基本不等式求最值——微点探究

微点1无条件求最值

例1(1)若0x12，则y＝x(1－2x)的最大值是(

A．14B．18C．1D．

(2)已知x1，求y＝4x2-8x+5x-1的最小值．换元法：令t

微点2有条件求最值

例2已知x＞0，y＞0，且1x+9y＝1，求x

1(变条件)本例条件变为“x＞0，y＞0，2x＋8y＝xy”，其余不变，求x＋y的最小值．

2(变条件，变设问)本例条件变为“x＋y＝1，x＞0，y＞0”，试求1x+

状元随笔应用基本不等式解题的关键是凑出“定和”或“定积”及保证能取到等号，此时往往需要采用拆项、补项、平方、平衡系数、“1”的整体代入等变形技巧，选择合理的变形技巧可以使复杂问题简单化，达到事半功倍的效果．

跟踪训练1(1)已知正实数a，b满足a＋4b＝1，则1a＋b的最小值为(

A．4B．6C．9D．10

(2)已知x12，则2x＋12x-1的最大值是

题型2利用基本不等式求参数——师生共研

例3设x，y∈R＋，(x＋y)(1x+1y)≥a恒成立，则实数a

A．2B．4C．8D．16

状元随笔运用基本不等式求参数的取值范围问题在高考中经常出现，在解决此类问题时，要注意发掘各个变量之间的关系，探寻思路，解决问题．

,

方法归纳

恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax.将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式．

跟踪训练2已知两个正数x，y满足x＋y＝4，则使不等式1x+4y≥m恒成立的实数

题型3利用基本不等式解决实际问题——师生共研

例4如图，某学校准备修建一个面积为600平方米的矩形活动场地(图中ABCD)的围栏，按照修建要求，中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFDC为正方形，设AB＝x米，已知围墙(包括EF)的修建费用均为每米800元，设围墙(包括EF)的修建总费用为y元．

(1)求出y关于x的函数解析式及x的取值范围；

(2)当x为何值时，围墙(包括EF)的修建总费用y最小？并求出y的最小值．方法归纳

利用基本不等式解决实际问题的步骤

解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．

(3)在定义域上，求出函数的最大值或最小值．

(4)正确写出答案．

跟踪训练32016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．消耗A材料＝生产时间×每小时可