第03讲 圆的方程（八大题型）（讲义）（原卷版）--2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）.docx

第03讲圆的方程

目录TOC\o1-2\h\z\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：圆的定义和圆的方程 4

知识点2：点与圆的位置关系判断 4

题型一：求圆多种方程的形式 5

题型二：直线系方程和圆系方程 6

题型三：与圆有关的轨迹问题 7

题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 9

题型五：点与圆的位置关系判断 10

题型六：数形结合思想的应用 11

题型七：与圆有关的对称问题 11

题型八：圆过定点问题 12

04真题练习·命题洞见 13

05课本典例·高考素材 14

06易错分析·答题模板 15

易错点：忽视圆的一般方程成立的条件 15

答题模板：求圆的方程 16

考点要求

考题统计

考情分析

(1)圆的方程

(2)点与圆的位置关系

2024年北京卷第3题，5分

2023年乙卷（文）第11题，5分

2023年上海卷第7题，5分

2022年甲卷（文）第14题，5分

2022年乙卷（文）第15题，5分

高考对圆的方程的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握圆的标准方程与一般方程的求法，除了待定系数法外，要特别要重视利用几何性质求解圆的方程．

复习目标：

（1）理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．

（2）能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．

知识点1：圆的定义和圆的方程

1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．

2、圆的四种方程

（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为

（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径

（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是

（4）圆的参数方程：

①的参数方程为（为参数）；

②的参数方程为（为参数）．

【诊断自测】已知点，，，则外接圆的方程是（????）．

A． B．

C． D．

知识点2：点与圆的位置关系判断

（1）点与圆的位置关系：

①点P在圆外；

②点P在圆上；

③点P在圆内．

（2）点与圆的位置关系：

①点P在圆外；

②点P在圆上；

③点P在圆内．

【诊断自测】（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

题型一：求圆多种方程的形式

【典例1-1】已知直线与圆相切于点，圆心在直线上，则圆的方程为（????）

A． B．

C． D．

【典例1-2】（2024·高三·北京·开学考试）圆心为，且与轴相切的圆的方程是（????）

A． B．

C． D．

【方法技巧】

（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a，b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．

（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．

【变式1-1】过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的外接圆方程是（????）

A． B．

C． D．

【变式1-2】圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为．

【变式1-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与均与相切，点在上，则的方程为.

【变式1-4】与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（????）

A． B．

C． D．

题型二：直线系方程和圆系方程

【典例2-1】过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（????）

A． B．

C． D．

【典例2-2】圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为．

【方法技巧】

求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）．

（1）直线系方程：若直线与直线相交于点P，则过点P的直线系方程为：

简记为：

当时，简记为：（不含）

（2）圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：

简记为：，不含

当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）

注意：与圆C共根轴l的圆系

【变式2-1】经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为.

【变式2-2】曲线与的四个交点所在圆的方程是．

【变式2-3】过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（???）

A． B．．

C． D．

题型三：与圆有关的轨迹问题

【典例3-1】已知定点B（3，0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨