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概率论与数理统计;序言;三.理论联系实际最活跃的学科;四.概率论的内容构成;第一章随机事件和概率;1.1随机试验
一、随机试验(简称“试验”)的例子;二、随机试验的特征;1.2样本空间、随机事件
一、样本空间;二、随机事件;三、事件之间的关系;四、事件与集合对应关系类比;;五、事件的运算;1.3频率与概率
一、频率;;二.概率;
;;(4)互补性:P(A)=1-P(A),且P(A)?1;(1.5)
(5)加法公式:对任意两事件A、B,有
P(A?B)=P(A)+P(B)-P(AB)(1.6)
公式(1.6)可推广到任意n个事件A1,A2,…,An的情形;
(6)可分性:对任意两事件A、B,有
P(A)=P(AB)+P(AB).(1.7)
;一般的,有如下定义
定义事件组A1,A2,…,An(n可为?),称为样本空间?的一个划分(或完备事件组),若满足:;1.4古典概型
一、古典概型的特征;二、古典概型的计算公式;例1、掷一颗骰子,求出6点的概率。
例2、做试验E:“将一枚硬币连抛2次”,
观测出正、反面的情形。
(1)写出E的样本空间;
(2)设A1=“恰有一次出正面”,求P(A1);
(3)设A2=“至少出一次正面”,求P(A2).
;例3、袋中有6只乒乓球,其中4白2红,现从中
取二次,每次取一只(分别考虑有放回和无放回
取球的情形)。求
(1)全是白球的概率;
(2)两球色相同的概率;
(3)至少一只白球的概率。;三、古典概型的几类基本问题;3、分配问题把n个球随机地
分配到m个盒子中去,问每盒中
至多有一球的概率是多少?
4、配对问题从五双不同的鞋
子中任意地取出四只,问其中至
少有两只成双的概率是多少?
;例4、设有n个人,每个人都等可能地被分配到N个房
间中的任意一间去住(n?N),求下列事件的概率:
(1)指定的n个房间每个房间各有一人;
(2)恰好有n个房间,每个房间各有一人。
例5、某班级有n个人(n?365),
问至少一两个人的生日在同一天
的概率有多大?;例6、(DeMere问题)一颗骰子掷4次至少得一个六点
与两颗骰子掷24次至少得一个双六,这两件事,哪
一个有更多的机会遇到?;1.5几何概型
一、几何概型的特征;二、几何概型的计算公式;例1、(会面问题)两人相约7点到8点在某地
会面,先到者等候另一人20分钟,过时可
离去,试求两人会面的概率。
例2、(蒲丰(Buffon)投针问题)1777年法国
科学家蒲丰提出了下列著名问题:
平面上画着一些平行线,它们
之间的距离都等于a,向此平面上任
投一长度为l(Ia)的针,试求此针与任一平行线相交的
概率。
;可求得其概率
;
1.6概率的公理化结构
;由公理1可推得如下性质:
(1)??F;
(2)若A、B?F,则A?B?F,A-B?F,AB?F;
(3)若有一列Ai?F,i=1,2,…,
则.;公理2概率公理设(?,F)为可测空间,在事件域F上
定义一个实值函数P(A),A?F,满足:
(1)非负性:P(A)?0,对任意A?F;
(2)规范性:P(?)=1;
(3)可列可加性:若有一列Ai?F,i=1,2,…,AiAj=?,使得
则称P(A),A?F为?域F上的概率测度,简称““概率”。
满足公理1和公理2的三元体(?,F,P)称为概率空间。;1.7条件概率及概率计算公式
一、条件概率;二、乘法公式;式(1.1.7)还可推广到三个事件的情形:
P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).(1.7.3)
一般的,有下列公式:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An-1).(1.7.4);三、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式;例3、某厂有三个车间生产同一种产品,已知三个车间
的产量分别占总产量的1/4、1/4、1/2,且次品率分别
为2%、1%、3%,试求该厂这种产品的次品率。;例4、在无线电通讯中,由于随机因素的影响,当发
出短号“?”时,收到“?”、“不清”和长号“-”的概率分别是0.7、0
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