人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题.ppt

第2课时用空间向量研究夹角问题第一章1.4.2

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑

自主预习新知导学

一、直线与直线所成的角1.异面直线所成的角若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cosθ=|cosu,v|=.

2.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()

解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz(图略).设AB=1,答案:D

1.直线与平面所成的角直线与平面相交,设直线与平面所成的角为θ,直线的方向向量为u,平面的法向量为n,则sinθ=|cosu,n|=.2.已知向量m,n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量,若cosm,n=-,则l与α所成的角为()A.30° B.60° C.150° D.120°解析:设l与α所成的角为θ,则sinθ=|cosm,n|=,即θ=60°.故选B.答案:B二、直线与平面所成的角

1.平面与平面所成的角(1)定义:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.(2)若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则cosθ=|cosn1,n2|=.三、平面与平面所成的角

2.平面α的法向量为(1,0,-1),平面β的法向量为(0,-1,1),则平面α与平面β的夹角为.?解析:设u=(1,0,-1),v=(0,-1,1),α与β的夹角为θ,

合作探究释疑解惑

探究一求异面直线所成的角【例1】如图,在三棱锥V-ABC中,顶点C在空间直角坐标系的原点处,顶点A,B,V分别在x轴、y轴、z轴上,D是线段AB的中点,且AC=BC=2,∠VDC=θ.当θ=时,求异面直线AC与VD所成角的余弦值.

反思感悟求异面直线所成角的方法(1)几何法:①作图:选择“特殊点”作异面直线的平行线,作出所求角;②证明:证明所作角符合定义;③计算:解三角形求解.(2)坐标法:①建系:建立空间直角坐标系;②找坐标:求出两条异面直线的方向向量的坐标;③求夹角:利用向量夹角的公式计算两直线方向向量的夹角;④下结论:结合异面直线所成角的范围,得到异面直线所成的角.提醒:两条异面直线所成角的取值范围是.

【变式训练1】如图,已知A1B1C1-ABC是直三棱柱,∠ACB=90°,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,求BD1与AF1所成角的余弦值.

解:以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设CB=CA=CC1=1,

探究二求直线与平面所成的角【例2】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.(1)求证:PB⊥DM;(2)求BD与平面ADMN所成的角.分析:(1)建系,用向量方法证明垂直.(2)先计算平面ADMN的法向量与直线BD的方向向量的夹角,再转化为直线BD与平面ADMN所成的角.

解:以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设BC=1,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),

反思感悟求直线与平面所成的角的方法与步骤思路一:找直线在平面内的射影,充分利用面面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值).思路二:利用向量法求直线与平面所成的角θ的基本步骤

【变式训练2】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,E,F分别为C1C,BC的中点.求直线A1B与平面AEF所成角的正弦值.

解:以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),E(0,2,1),F(1,1,0),

探究三求平面与平面的夹角【例3】如图所示,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,E是PD的中点,求平面EAC与平面ABCD的夹角的大小.分析:有两种思路,思路一:根据二面角的定义找出平面EAC与平面ABCD的夹角,再求其大小;思路二:建立空间直角坐标系,求平面的法向量