高中数学同步教学课件 空间向量与垂直关系.pptx

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;;问题1如图，直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，直线l1，l2垂直时，e1，e2之间有什么关系？;设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1＝(a1，a2，a3)，e2＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2?e1⊥e2?e1·e2＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.

注意点：

(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直.

(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.;例1如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.;方法一以{}为正交基底建立空间直角坐标系A－xyz，设AD＝a，

则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)，C(a,1,0)，;;利用向量方法证明线线垂直的方法

(1)坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两条直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直.

(2)基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两条直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两条直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直.;跟踪训练1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点，求证：

(1)BD1⊥AC；;建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.;(2)BD1⊥EB1.;;问题2如图，设e是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直平面α时，e，n之间有什么关系？;设直线l1的方向向量为e1＝(a1，b1，c1)，平面α1的法向量为n1＝(a2，b2，c2)，则l1⊥α1?e1∥n1?e1＝kn1?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2(k∈R).

注意点：

(1)若证明线面垂直，即证明直线的方向向量与平面的法向量平行.

(2)证明线面垂直的方法：

①基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论.;②坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论.

③法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向???量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论.;例2如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.

求证：AB1⊥平面A1BD.;方法一如图所示，取BC的中点O，连接AO，因为△ABC为正三角形，

所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.

取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，;;;用向量法证明线面垂直的方法

(1)证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直.

(2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行.;跟踪训练2如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上.已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.

(1)证明：AP⊥BC；;由题意知AD⊥BC，如图，作OE⊥AD交AE于点E，;(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC.;∵M是AP上一点，且AM＝3，;;;问题3设n1，n2分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直平面β时，n1，n2之间有什么关系？;设平面α1的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面α2的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α1⊥α2?n1⊥n2?n1·n2＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.

注意点：

若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直.;例3在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.;设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x，y，z)，;令c＝4，得a＝1，b＝－1.故n2＝(1，－1,4).

因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，

所以n1⊥n2.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.;利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.;跟踪训练3如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝

证明：平面