人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第2章 直线和圆的方程 2.4.2 圆的一般方程.ppt

2.4.2圆的一般方程第二章2.4

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑

自主预习新知导学

2.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则k的取值范围是()A.k1 B.k1 C.k≥1 D.k≤1解析:由题意得(-4)2+22-4×5k0,解得k1.答案:B一、圆的一般方程

二、轨迹方程1.(1)点M的轨迹方程是指点M的坐标(x,y)满足的关系式.(2)轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中,我们常常把图形看作点的轨迹(集合).(3)求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程.2.已知定点A(2,2),动点M(x,y)满足|MA|=1,则点M的轨迹方程是.?解析:由题意知,满足条件的点M是以点A(2,2)为圆心,1为半径的圆,所以有(x-2)2+(y-2)2=1,即点M的轨迹方程是(x-2)2+(y-2)2=1.答案:(x-2)2+(y-2)2=1

合作探究释疑解惑

探究一圆的一般方程的概念【例1】判断下列方程是否表示圆,若是,写出圆心坐标和半径:(1)3x2+y2+2x+1=0;(2)x2+y2+xy+1=0;(3)x2+y2+x+2y+1=0;(4)x2+y2-4mx+2my+20m-20=0.分析:利用圆的一般方程的特点解题.解:(1)∵x2,y2的系数不相等,∴该二元二次方程表示的不是圆.(2)∵该二次方程中含有xy项,∴该二元二次方程表示的不是圆.

(3)∵D2+E2-4F=1+4-40,∴该二元二次方程表示的是圆.

(4)(方法一)D=-4m,E=2m,F=20m-20,D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.当m=2时,它表示一个点;当m≠2时,原方程表示圆心为(2m,-m),

反思感悟判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤:先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征,即①x2与y2的系数相等;②不含xy项;当它具有圆的一般方程的特征时,再看它能否表示圆,此时有两种途径,一是看D2+E2-4F是否大于零,二是直接配方变形,看右边是否为大于零的常数即可.

【变式训练1】已知关于x,y的方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.(1)求实数m的取值范围;(2)求该圆半径的取值范围.

探究二求圆的一般方程【例2】已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求△ABC外接圆的方程.分析:欲求圆的方程可先将圆的方程设出来,将条件代入求得.解法一:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.所以,△ABC外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.

解法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.所以,△ABC外接圆的方程为(x-4)2+(y-1)2=5.

若本例改为:已知圆过A(2,2),C(3,-1)两点,且圆关于直线y=x对称,求圆的一般方程.解:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

反思感悟用待定系数法求圆的方程时,一般方程和标准方程的选择(1)由已知条件易求得圆心坐标、半径,需利用圆心的坐标或半径列方程时,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出参数D,E,F.

【变式训练2】已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为,求圆C的一般方程.

探究三求动点的轨迹方程【例3】已知直角三角形ABC的斜边为AB,且点A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC中点M的轨迹方程.分析:只需寻求动点与定点之间的关系,然后化简方程即可,要注意动点与定点间的约束条件.

解:(1)(方法一)设顶点C(x,y).因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).(方法二)设顶点C(x,y).同方法一得y≠0.由勾股定理得|AC|2+|BC|2=|AB|2,即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).

(方法三)设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知,|CD|=|AB|=2,由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=