通用版五年高考2024_2025高考数学真题专题归纳专题14数列综合含解析理.docVIP

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专题14数列综合

【2024年】

1.（2024·新课标Ⅰ）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）-2；（2）.

【解析】

（1）设的公比为，为的等差中项，

，

；

（2）设的前项和为，，

，①

，②

①②得，

，

.

2.（2024·新课标Ⅲ）设数列{an}满意a1=3，．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

【答案】（1），，，证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由题意可得，，

由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，

证明如下：

当时，成立；

假设时，成立.

那么时，也成立.

则对随意的，都有成立；

（2）由（1）可知，

，①

，②

由①②得：

，

即.

3.（2024·北京卷）已知是无穷数列．给出两特性质：

①对于中随意两项，在中都存在一项，使；

②对于中随意项，在中都存在两项．使得．

(Ⅰ)若，推断数列是否满意性质①，说明理由；

(Ⅱ)若，推断数列是否同时满意性质①和性质②，说明理由；

(Ⅲ)若是递增数列，且同时满意性质①和性质②，证明：为等比数列.

【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析.

【解析】

(Ⅰ)不具有性质①；

(Ⅱ)具有性质①；

具有性质②；

(Ⅲ)【解法一】

首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：

明显，假设数列中存在负项，设，

第一种状况：若，即，

由①可知：存在，满意，存在，满意，

由可知，从而，与数列的单调性冲突，假设不成立.

其次种状况：若，由①知存在实数，满意，由的定义可知：，

另一方面，，由数列的单调性可知：，

这与的定义冲突，假设不成立.

同理可证得数列中的项数恒为负数.

综上可得，数列中的项数同号.

其次，证明：

利用性质②：取，此时，

由数列的单调性可知，

而，故，

此时必有，即，

最终，用数学归纳法证明数列为等比数列：

假设数列的前项成等比数列，不妨设，

其中，（的状况类似）

由①可得：存在整数，满意，且（*）

由②得：存在，满意：，由数列的单调性可知：，

由可得：（**）

由（**）和（*）式可得：，

结合数列的单调性有：，

留意到均为整数，故，

代入（**）式，从而.

总上可得，数列的通项公式为：.

即数列为等比数列.

【解法二】假设数列中的项数均为正数：

首先利用性质②：取，此时，

由数列的单调性可知，

而，故，

此时必有，即，

即成等比数列，不妨设，

然后利用性质①：取，则，

即数列中必定存在一项的值为，下面我们来证明，

否则，由数列的单调性可知，

在性质②中，取，则，从而，

与前面类似的可知则存在，满意，

若，则：，与假设冲突；

若，则：，与假设冲突；

若，则：，与数列的单调性冲突；

即不存在满意题意的正整数，可见不成立，从而，

同理可得：，从而数列为等比数列，

同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.

由推理过程易知数列中的项要么恒刚要么恒负，不会同时出现正数和负数.

从而题中的结论得证，数列为等比数列.

4.（2024·江苏卷）已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ–k”数列．

（1）若等差数列是“λ–1”数列，求λ的值；

（2）若数列是“”数列，且an＞0，求数列的通项公式；

（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ–3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，

【答案】（1）1

（2）

（3）

【解析】

（1）

（2）

，

（3）假设存在三个不同的数列为数列.

或

或

∵对于给定的，存在三个不同的数列为数列，且

或有两个不等的正根.

可转化为，不妨设，则有两个不等正根，设.

①当时，，即，此时，，满意题意.

②当时，，即，此时，，此状况有两个不等负根，不满意题意舍去.

综上，

5.（2024·山东卷）已知公比大于的等比数列满意．

（1）求的通项公式；

（2）求.

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)设等比数列的公比为q(q1)，则，

整理可得：，

，

数列的通项公式为：.

(2)由于：，故：

.

6.（2024·天津卷）已知为等差数列，为等比数列，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）记的前项和为，求证：；

（Ⅲ）对随意的正整数，设求数列的前项和．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.

【解析】

(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.

由，，可得d=1.

从而的通项公式为.

由，

又q≠0，可得，解得q=2，

从而的通项公式为.

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，

故，，

从而，

所以.

(Ⅲ)当n奇数时，，