辽宁省大连市高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 利用导数研究函数的极值（1）教案 新人教B版选修2-2.docx

辽宁省大连市高中数学第一章导数及其应用1.3利用导数研究函数的极值（1）教案新人教B版选修2-2

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教学内容

本章为辽宁省大连市高中数学第一章“导数及其应用”中的1.3节，将重点探讨利用导数研究函数的极值。教学内容将围绕以下部分展开：

1.函数极值的定义及性质；

2.导数与函数极值之间的关系；

3.求函数极值的基本方法；

4.应用实例：利用导数求解实际问题中的极值问题。

我们将结合新人教B版选修2-2教材，通过具体例题和练习，使学生掌握利用导数研究函数极值的基本方法和技巧。

核心素养目标

1.数学抽象：理解函数极值的概念，将其运用到实际问题中，提高数学抽象能力。

2.逻辑推理：运用导数判断函数极值，培养学生严谨的逻辑推理能力。

3.数学建模：结合实际问题，建立数学模型，利用导数求解极值问题，提高数学建模素养。

4.数据分析：通过分析函数图像和导数变化，培养学生对数据的敏感性和分析能力。

5.数学运算：熟练掌握求导法则和运算技巧，提高数学运算速度和准确性。

6.创新意识：鼓励学生在探讨极值问题时，提出新思路、新方法，培养创新意识。

学习者分析

1.学生已经掌握了导数的概念、求导法则以及导数与函数单调性的关系等相关知识。在此基础上，学生将学习如何利用导数研究函数的极值。

2.学生对数学学科的兴趣和能力各不相同，但普遍具有一定的逻辑推理和数学运算能力。在学习过程中，部分学生喜欢通过图形和实例来理解问题，而另一部分学生则更倾向于通过公式和理论来解决问题。此外，学生们的学习风格也存在差异，有的擅长独立思考，有的则更善于合作交流。

3.学生在学习过程中可能遇到的困难和挑战包括：理解极值概念时可能感到抽象，难以将其与实际问题联系起来；在运用导数求解极值问题时，可能对求导法则和运算技巧掌握不够熟练，导致计算错误；此外，对于如何从导数的变化来判断极值，部分学生可能存在理解上的困难。针对这些情况，教师需在教学中给予针对性的指导和支持。

教学资源准备

1.教材：确保每位学生都有新人教B版选修2-2教材，提前布置学生预习本章内容。

2.辅助材料：准备与函数极值相关的图片、图表、动画等多媒体资源，以便直观展示导数与极值的关系。

3.实验器材：本节课无需实验器材。

4.教室布置：将教室划分为讲解区、讨论区，确保学生能在小组讨论时进行有效互动，同时方便教师进行讲解和指导。

教学过程

1.导入新课

上课之初，我会首先引导学生回顾上节课所学内容，即导数与函数单调性的关系。通过提问方式检查学生对这部分知识的掌握情况，为新课的学习做好铺垫。

（1）提问：导数与函数单调性之间的关系是什么？

（2）学生回答：当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函数单调递减。

2.知识讲解

（1）讲解极值的定义及性质

我会让学生翻开教材，对照着极值的定义进行讲解。同时，通过实例和图形，让学生直观地理解极值的概念。

定义：设函数f(x)在点x=a处可导，若存在某个区间（a-\(\Delta\)x,a+\(\Delta\)x），对于该区间内任意x值，都有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(x)在点x=a处取得局部极大值（或局部极小值）。

性质：

-极大值和极小值是局部概念，只针对某个区间；

-极值点处的导数为0，但导数为0的点未必是极值点；

-极值点两侧函数单调性发生变化。

（2）讲解导数与极值之间的关系

在此基础上，我会引导学生探讨导数与极值之间的关系。

-当函数从单调递增变为单调递减时，存在局部极大值；

-当函数从单调递减变为单调递增时，存在局部极小值。

（3）求极值的方法

接着，我会介绍求函数极值的基本方法。

-求导数f(x)；

-解方程f(x)=0，得到可能的极值点；

-通过二阶导数判定法（当二阶导数大于0时，为局部极小值；当二阶导数小于0时，为局部极大值）确定极值点的性质。

3.实例演示

为了让学生更好地理解如何利用导数求解极值问题，我会结合教材中的例题进行讲解。

例题：求函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5的极值。

（1）求导数f(x)=3x^2-6x-9；

（2）解方程f(x)=0，得到x=3和x=-1；

（3）求二阶导数f(x)=6x-6；

（4）代入x=3和x=-1，得到f(3)=120，f(-1)=-120；

（5）故x=3为局部极小值点，x=-1为局部极大值点。

4.学生练习

我会布置一些类似的题目让学生进行课堂练习，以便巩固所学知识。

5.小组讨论

（1）在实际问题中，如何建立数学模型，利用导数求解极值？

（2）在求导数过程中，可能会遇到哪些困难？如何克服？

（3）如何从导数的变化来判断极值点？

6.总结