专题1.6 全等三角形几何模型（一线三等角）（知识梳理与考点分类讲解）（浙教版）（原卷版）.docx

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专题1.6全等三角形几何模型（一线三等角）（知识梳理与考点分类讲解）

第一部分【知识点归纳】

【知识点一】一线三直角模型

1.基本图形

题型特征：如图1，在直线BC上出现三个直角，如图中∠B=∠ACE=∠D=90°

图1图2图3

解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=CD或BC=DE或CA=CE），可证△ABE≌△ECD（AAS或ASA）

结论延伸1：如图2，两个直角三角形在直线两侧时，同样成立

结论延伸2：图1中连接AE，得到如图3，可得以下结论：

四边形ABDE为直角梯形；AB+DE=BC（上底+下底=高）

【知识点二】一线三等角模型

图4图5

题型特征：如图4，图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠ACE=∠D

解题方法：只要题目再出现一组等边（BA=CD或BC=DA或CA=DC），必证△ABC≌△CDE（AAS或ASA）

结论延伸：如图5，两个三角形在直线两侧时，同样成立

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1】直接用“一线三直角”模型求值或证明

【例1】（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，，，，，垂足分别是．

（1）求证：；

（2）猜想线段之间具有怎样的数量关系，并说明理由．

【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（）

A．54 B．60 C．100 D．110

【变式2】（23-24八年级上·湖南永州·期末）如图，，，，．若，，则．

【题型2】直接用“一线三等角”模型求值或证明

【例2】（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，点在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．

（1）当时，°，°．

（2）若，试说明．

（3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由．

【变式1】（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，则DE的长为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和．

【题型3】构造“一线三直角”模型求值或证明

【例3】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且．

（1）如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：；

（2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点．试探究与的数量关系，并说明理由．

（3）当点在射线上时，连接交直线于点，若，求的值．

【变式1】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，为边上的点，且，连接，过作，并截取，连接交于，则下列结论：①；②为的中点；③；④；其中正确的结论共有（）

??

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式2】（23-24八年级下·重庆丰都·期末）如图，正方形的顶点在直线上，直线于点，连接DE．若＝，则（阴影部分）的面积为．

【题型4】“一线三直（等）角”模型的延伸与拓展

【例4】（23-24七年级下·河南平顶山·期末）综合与实践：

在中，，，点C在直线l上，点A、B在直线l的同侧，过点A作于点D．

（1）问题情境：如图1，在直线l上取点E，使．则与的数量关系是_________________，此时之间的数量关系是_________________．

（2）探究证明：如图2，在直线l上取点F，使，猜想与的数量关系，并说明理由．

（3）拓展延伸：在直线l上任取一点P，连接，以点P为直角顶点作等腰直角三角形，作于点N，请直接写出在图3、图4中之间的数量关系．

【变式1】（22-23八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②垂直平分；③；④；⑤．其中正确的个数是（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【变式2】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，直线a经过的顶点A，分别过B、C两点作于点D，于点E，，，，，则的长为.

第三部分【中考链接与拓展延伸】

1、