北师版高中数学必修第二册精品课件 第5章 复数 §3 复数的三角表示.ppt

第五章复数

*§3复数的三角表示;自主预习·新知导学;;自主预习·新知导学;一、复数的三角表示式

【问题思考】

1.(1)复数a+bi(a,b∈R)与复平面内的点和向量是如何一一对应的?

(2)若角θ的顶点在坐标原点O,始边在x轴非负半轴上,已知角θ终边上一点P(x,y),如何表示角θ的三角函数?

(3)终边相同的角有什么关系?;提示:(1)根据复平面的建立原则,复数a+bi与复平面内的点Z(a,b)是一一对应的,;(2)当z=r(cosθ+isinθ)≠0时,z的辐角有无穷多个值,这些值相差2π的整数倍.为确定起见,将满足条件0≤θ2π的辐角值,称为辐角的主值,记作argz,即0≤argz2π.?

(3)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.;3.复数z=-sin100°+icos100°的辐角的主值是().

A.80° B.100°

C.190° D.260°

解析:z=-sin100°+icos100°

=-cos10°-isin10°

=cos190°+isin190°,

∴argz=190°.

答案:C;二、复数三角形式的乘法法则与几何意义

【问题思考】

1.若复数z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),你能根据复数的乘法运算计算z1z2,并将结果表示成三角形式吗?

提示:能.z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)

=r1r2(cosθ1+isinθ1)·(cosθ2+isinθ2)

=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2)]

=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].;2.(1)已知z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),

则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].

这就是说,两个复数相乘,积的模等于它们的模的积,积的辐角等于它们的辐角的和.

(2)复数乘法的几何意义;3.复数z=(cos25°+isin25°)·(cos50°+isin50°)的三角形式是()

A.cos(-25°)+isin(-25°) B.sin75°+icos75°

C.cos15°+isin15° D.cos75°+isin75°

解析:z=cos(25°+50°)+isin(25°+50°)

=cos75°+isin75°.

答案:D;三、复数三角形式的除法法则

【问题思考】

1.由复数乘法的运算法则,求r2(cosθ2+isinθ2)·[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].

提示:原式=r2··{cos[θ2+(θ1-θ2)]+isin[θ2+(θ1-θ2)]}

=r1(cosθ1+isinθ1).;这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.;【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.

(1)复数0的辐角一定是0.()

(2)一个给定的复数,??辐角也是唯一确定的.()

(3)复数i的辐角可以为-π.();合作探究·释疑解惑;探究一复数的三角形式与代数形式的互化;(3)不是三角形式.;反思感悟1.复数三角形式的判断依据和变形步骤

(1)判断依据:

三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连.

(2)变形步骤:首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角),其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.;2.复数的代数形式化三角形式的步骤

(1)求复数的模;

(2)决定辐角所在的象限;

(3)根据象限求出辐角(常取它的主值);

(4)写出复数的三角形式.;【变式训练1】将下列复数中的代数形式表示成三角形式,三角形式表示成代数形式.

(1)-1;;解:(1)模r=1,辐角的主值arg(-1)=π,

∴-1=cosπ+isinπ.;探究二复数三角形式的乘法运算及其几何意义;(2)原式=6(cos70°+isin70°)[10(cos80°+isin80°)]

=60(cos150°+isin150°);图5-3-1;反思感悟复数三角形式的乘法运算

(1)直接利用复数三角形式的乘法法则:模相乘,辐角相加.

(2)若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时,需将相混的复数统一成代数形式或三角